ANPEC 2025 — Matemática – Anpec 2025 — Questão 10

Considere o contexto em que um investimento inicial de A>0 unidades monetárias pode ser aplicado, no período inicial t=0, em apenas um dentre dois ativos disponíveis. O primeiro ativo remunera a uma taxa de juros r>0 e, devido a custos operacionais, deduz do saldo um valor B_t em cada período t=0,1,2,\ldots. Ainda, dada uma aplicação inicial x_0=A>0, o valor no instante t+1 satisfaz x_{t+1}=(1+r)x_t-B_t, onde \forall t \ge 0, B_{t+1}=\left(\frac{1+r}{2}\right)B_t e B_0=A/2. Com respeito ao segundo ativo, uma mesma aplicação inicial y_0=A>0 implica y_{t+1}=(1+\bar{r})y_t, onde \bar{r}>0. Sabendo que \frac{1+r}{1+\bar{r}}=V \ge 0 e \lim_{tto+\infty}\frac{x_t}{y_t}=\frac{1}{2}, determine o valor de V.