Matemática – Anpec 2025
Responda os itens normalmente. O sistema salva sua marcação, mas não mostra gabarito, acerto, erro, estatísticas ou resolução antes do envio da prova.
Questões da prova
Escolha a visualização que preferir e resolva a prova sem feedback imediato.
Questão 01
Enunciado
Seja \mathbb{N}={1,2,3,\ldots} o conjunto dos números naturais. Para cada n \in \mathbb{N}, P_n={1,2,\ldots,n} denota o conjunto dos n primeiros números naturais. Dado X \subseteq \mathbb{N}, denote por \mathcal{S}(X) a coleção de todos os subconjuntos de X, ou seja, \mathcal{S}(X)={A \subseteq \mathbb{N}: A \subseteq X}. Dado um conjunto finito X, seja card(X) o número de elementos de X. Por fim, dados dois conjuntos X e Y, a diferença simétrica entre eles é X triangle Y={x \in X \cup Y: x \notin X \cap Y}. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{N}={1,2,3,\ldots} o conjunto dos números naturais. Para cada n \in \mathbb{N}, P_n={1,2,\ldots,n} denota o conjunto dos n primeiros números naturais. Dado X \subseteq \mathbb{N}, denote por \mathcal{S}(X) a coleção de todos os subconjuntos de X, ou seja, \mathcal{S}(X)={A \subseteq \mathbb{N}: A \subseteq X}. Dado um conjunto finito X, seja card(X) o número de elementos de X. Por fim, dados dois conjuntos X e Y, a diferença simétrica entre eles é X triangle Y={x \in X \cup Y: x \notin X \cap Y}. Julgue as seguintes afirmativas:
P_5 \subseteq P_4 \cup {5}.
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{N}={1,2,3,\ldots} o conjunto dos números naturais. Para cada n \in \mathbb{N}, P_n={1,2,\ldots,n} denota o conjunto dos n primeiros números naturais. Dado X \subseteq \mathbb{N}, denote por \mathcal{S}(X) a coleção de todos os subconjuntos de X, ou seja, \mathcal{S}(X)={A \subseteq \mathbb{N}: A \subseteq X}. Dado um conjunto finito X, seja card(X) o número de elementos de X. Por fim, dados dois conjuntos X e Y, a diferença simétrica entre eles é X triangle Y={x \in X \cup Y: x \notin X \cap Y}. Julgue as seguintes afirmativas:
Se A,B,C \in \mathcal{S}(P_3) satisfazem as condições card(A triangle B)=1 e card(B triangle C)=1, então card(A triangle C)=1.
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{N}={1,2,3,\ldots} o conjunto dos números naturais. Para cada n \in \mathbb{N}, P_n={1,2,\ldots,n} denota o conjunto dos n primeiros números naturais. Dado X \subseteq \mathbb{N}, denote por \mathcal{S}(X) a coleção de todos os subconjuntos de X, ou seja, \mathcal{S}(X)={A \subseteq \mathbb{N}: A \subseteq X}. Dado um conjunto finito X, seja card(X) o número de elementos de X. Por fim, dados dois conjuntos X e Y, a diferença simétrica entre eles é X triangle Y={x \in X \cup Y: x \notin X \cap Y}. Julgue as seguintes afirmativas:
Existe função sobrejetora de P_{2025} para P_{2024}.
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{N}={1,2,3,\ldots} o conjunto dos números naturais. Para cada n \in \mathbb{N}, P_n={1,2,\ldots,n} denota o conjunto dos n primeiros números naturais. Dado X \subseteq \mathbb{N}, denote por \mathcal{S}(X) a coleção de todos os subconjuntos de X, ou seja, \mathcal{S}(X)={A \subseteq \mathbb{N}: A \subseteq X}. Dado um conjunto finito X, seja card(X) o número de elementos de X. Por fim, dados dois conjuntos X e Y, a diferença simétrica entre eles é X triangle Y={x \in X \cup Y: x \notin X \cap Y}. Julgue as seguintes afirmativas:
Para todo n \in \mathbb{N}, é verdade que P_n triangle P_1 \in \mathcal{S}(P_{n+1}).
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{N}={1,2,3,\ldots} o conjunto dos números naturais. Para cada n \in \mathbb{N}, P_n={1,2,\ldots,n} denota o conjunto dos n primeiros números naturais. Dado X \subseteq \mathbb{N}, denote por \mathcal{S}(X) a coleção de todos os subconjuntos de X, ou seja, \mathcal{S}(X)={A \subseteq \mathbb{N}: A \subseteq X}. Dado um conjunto finito X, seja card(X) o número de elementos de X. Por fim, dados dois conjuntos X e Y, a diferença simétrica entre eles é X triangle Y={x \in X \cup Y: x \notin X \cap Y}. Julgue as seguintes afirmativas:
A função F: \mathbb{N} \to \mathcal{S}(\mathbb{N}) definida pela regra F(n)=P_{n+1} é injetora.
Questão 02
Enunciado
No espaço vetorial \mathbb{R}^2, cada vetor x=(x_1,x_2) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \|x\|_M=\max\{|x_1|,|x_2|\}, \|x\|_E=\sqrt{x_1^2+x_2^2}, \|x\|_S=|x_1|+|x_2|. Fixados \alpha,\beta\in[0,1], considere a matriz A=\begin{bmatrix}\alpha & 1-\alpha \\ \beta & 1-\beta\end{bmatrix}. Ainda, denote por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x,y\in\mathbb{R}^2. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 02
No espaço vetorial \mathbb{R}^2, cada vetor x=(x_1,x_2) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \|x\|_M=\max\{|x_1|,|x_2|\}, \|x\|_E=\sqrt{x_1^2+x_2^2}, \|x\|_S=|x_1|+|x_2|. Fixados \alpha,\beta\in[0,1], considere a matriz A=\begin{bmatrix}\alpha & 1-\alpha \\ \beta & 1-\beta\end{bmatrix}. Ainda, denote por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x,y\in\mathbb{R}^2. Julgue as seguintes afirmativas:
Se x \in C={z \in \mathbb{R}^2: ||z||_M=1}, então Ax \in C.
Enunciado da questão 02
No espaço vetorial \mathbb{R}^2, cada vetor x=(x_1,x_2) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \|x\|_M=\max\{|x_1|,|x_2|\}, \|x\|_E=\sqrt{x_1^2+x_2^2}, \|x\|_S=|x_1|+|x_2|. Fixados \alpha,\beta\in[0,1], considere a matriz A=\begin{bmatrix}\alpha & 1-\alpha \\ \beta & 1-\beta\end{bmatrix}. Ainda, denote por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x,y\in\mathbb{R}^2. Julgue as seguintes afirmativas:
Se x=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 é tal que |x_1|=|x_2|=1, então ||x||_M=||x||_E=||x||_S.
Enunciado da questão 02
No espaço vetorial \mathbb{R}^2, cada vetor x=(x_1,x_2) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \|x\|_M=\max\{|x_1|,|x_2|\}, \|x\|_E=\sqrt{x_1^2+x_2^2}, \|x\|_S=|x_1|+|x_2|. Fixados \alpha,\beta\in[0,1], considere a matriz A=\begin{bmatrix}\alpha & 1-\alpha \\ \beta & 1-\beta\end{bmatrix}. Ainda, denote por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x,y\in\mathbb{R}^2. Julgue as seguintes afirmativas:
Se \alpha+\beta=1 e \alpha\gt\beta, então A é uma matriz simétrica que cumpre \langle x,Ax\rangle\gt 0 para todo x\in\mathbb{R}^2 tal que x\neq(0,0).
Enunciado da questão 02
No espaço vetorial \mathbb{R}^2, cada vetor x=(x_1,x_2) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \|x\|_M=\max\{|x_1|,|x_2|\}, \|x\|_E=\sqrt{x_1^2+x_2^2}, \|x\|_S=|x_1|+|x_2|. Fixados \alpha,\beta\in[0,1], considere a matriz A=\begin{bmatrix}\alpha & 1-\alpha \\ \beta & 1-\beta\end{bmatrix}. Ainda, denote por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x,y\in\mathbb{R}^2. Julgue as seguintes afirmativas:
Se 0\lt\alpha\lt 1 e 0\lt\beta\lt 1, então a matriz A define uma bijeção L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por meio da expressão L(x)=Ax.
Enunciado da questão 02
No espaço vetorial \mathbb{R}^2, cada vetor x=(x_1,x_2) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \|x\|_M=\max\{|x_1|,|x_2|\}, \|x\|_E=\sqrt{x_1^2+x_2^2}, \|x\|_S=|x_1|+|x_2|. Fixados \alpha,\beta\in[0,1], considere a matriz A=\begin{bmatrix}\alpha & 1-\alpha \\ \beta & 1-\beta\end{bmatrix}. Ainda, denote por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x,y\in\mathbb{R}^2. Julgue as seguintes afirmativas:
A função F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida pela regra F(x)=\langle x,Ax\rangle satisfaz |F(x)|\leq \|Ax\|_M sempre que \|x\|_S=1.
Questão 03
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Seja A uma matriz quadrada e A^t a sua transposta. Se B=A+A^t e A é simétrica, então as matrizes A e B têm o mesmo núcleo.
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo dos reais e U um subespaço vetorial de V. Suponha que U tem dimensão N \ge 1 e que o vetor x \in V satisfaz x \notin U. Nesse caso, vale que o conjunto W={u+tx: u \in U, t \in \mathbb{R}} é um subespaço vetorial de V e W tem dimensão N+1.
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Seja L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m uma transformação linear tal que para qualquer x \in \mathbb{R}^n vale que L(x)=(y_1,\ldots,y_m) \in \mathbb{R}^m satisfaz y_i \ge 0 para todo i=1,\ldots,m. Nesse caso, a matriz que representa L é a matriz nula.
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Seja o conjunto X no \mathbb{R}^3 definido por X={(10/3,-8/3,0)+t(1,7,3): t \in \mathbb{R}}. Se x^* \in \mathbb{R}^3 minimiza a função f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2 sujeito às restrições 2x_1+x_2-3x_3=4 e x_1-x_2+2x_3=6, então x^* \notin X.
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Considere H:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por H(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,4x_1+x_2,0). Então H é uma transformação linear que é diagonalizável e dois de seus autovalores também são autovalores da matriz \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 4 & 1\end{bmatrix}.
Questão 04
Enunciado
Uma dívida de P_0>0 reais, contraída no período 0, é paga a partir do período subsequente em uma quantidade de prestações dada por um número par T>0, todas de R reais, sob o sistema Price de amortização. Assim, P_t=(1+r)P_{t-1}-R, \forall t \in {1,\ldots,T}, e P_T=0; em que P_t representa o saldo devedor ao fim do período t, e r>0 é a taxa de juros acordada entre as partes. Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
Enunciado da questão 04
Uma dívida de P_0>0 reais, contraída no período 0, é paga a partir do período subsequente em uma quantidade de prestações dada por um número par T>0, todas de R reais, sob o sistema Price de amortização. Assim, P_t=(1+r)P_{t-1}-R, \forall t \in {1,\ldots,T}, e P_T=0; em que P_t representa o saldo devedor ao fim do período t, e r>0 é a taxa de juros acordada entre as partes. Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
Para cada t \in {0,1,\ldots,T}, vale P_t=P_0-tP_0/T.
Enunciado da questão 04
Uma dívida de P_0>0 reais, contraída no período 0, é paga a partir do período subsequente em uma quantidade de prestações dada por um número par T>0, todas de R reais, sob o sistema Price de amortização. Assim, P_t=(1+r)P_{t-1}-R, \forall t \in {1,\ldots,T}, e P_T=0; em que P_t representa o saldo devedor ao fim do período t, e r>0 é a taxa de juros acordada entre as partes. Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
Cada prestação é de P_0(1+r)^T/T reais.
Enunciado da questão 04
Uma dívida de P_0>0 reais, contraída no período 0, é paga a partir do período subsequente em uma quantidade de prestações dada por um número par T>0, todas de R reais, sob o sistema Price de amortização. Assim, P_t=(1+r)P_{t-1}-R, \forall t \in {1,\ldots,T}, e P_T=0; em que P_t representa o saldo devedor ao fim do período t, e r>0 é a taxa de juros acordada entre as partes. Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
Cada prestação supera os rP_0 reais.
Enunciado da questão 04
Uma dívida de P_0>0 reais, contraída no período 0, é paga a partir do período subsequente em uma quantidade de prestações dada por um número par T>0, todas de R reais, sob o sistema Price de amortização. Assim, P_t=(1+r)P_{t-1}-R, \forall t \in {1,\ldots,T}, e P_T=0; em que P_t representa o saldo devedor ao fim do período t, e r>0 é a taxa de juros acordada entre as partes. Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
Quanto maior r, maior será R.
Enunciado da questão 04
Uma dívida de P_0>0 reais, contraída no período 0, é paga a partir do período subsequente em uma quantidade de prestações dada por um número par T>0, todas de R reais, sob o sistema Price de amortização. Assim, P_t=(1+r)P_{t-1}-R, \forall t \in {1,\ldots,T}, e P_T=0; em que P_t representa o saldo devedor ao fim do período t, e r>0 é a taxa de juros acordada entre as partes. Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
Ao fim do período T/2, o saldo devedor ainda corresponde a mais da metade da dívida inicial.
Questão 05
Enunciado
Seja \Delta o triângulo de vértices A=(0,-2), B=(4,0) e C=(-1,5). Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
Enunciado da questão 05
Seja \Delta o triângulo de vértices A=(0,-2), B=(4,0) e C=(-1,5). Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
\Delta é isósceles.
Enunciado da questão 05
Seja \Delta o triângulo de vértices A=(0,-2), B=(4,0) e C=(-1,5). Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
A área de \Delta é 30.
Enunciado da questão 05
Seja \Delta o triângulo de vértices A=(0,-2), B=(4,0) e C=(-1,5). Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
A reta {(x,y) \in \mathbb{R}^2: (x-2,y+1)\cdot(2,1)=0} é a mediatriz do lado \overline{AB} de \Delta.
Enunciado da questão 05
Seja \Delta o triângulo de vértices A=(0,-2), B=(4,0) e C=(-1,5). Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
Se M é o baricentro de \Delta e D=A-M, então D e (1,3) são linearmente dependentes.
Enunciado da questão 05
Seja \Delta o triângulo de vértices A=(0,-2), B=(4,0) e C=(-1,5). Julgue as afirmativas abaixo quanto a sua veracidade:
O ângulo interno de \Delta em C mede \arccos(4/5) radianos.
Questão 06
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 06
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\int_{-\pi}^{\pi} [x+2sen(x)],dx > 0.
Enunciado da questão 06
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\int_{-4}^{-2}(x+4)^5,dx = -\int_{2}^{0}x^5,dx.
Enunciado da questão 06
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se n\geq 1 representa um número natural, e representa o número de Euler, e a sequência (y_n) é definida de modo que y_n=\int_0^{2n\pi} e^{\cos(x)}\operatorname{sen}(x)\,dx para todo n, então \lim_{n\to+\infty} y_n=e.
Enunciado da questão 06
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Seja f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função duas vezes continuamente diferenciável, e a>0. Se b^* é o maior valor de b \in \mathbb{R} que faz com que f(a)-b \ge f(0) seja verdade, então b^*=\int_0^a f'(x),dx.
Enunciado da questão 06
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Sejam f,g:[a,b]\to\mathbb{R} duas funções, cada qual duas vezes continuamente diferenciável, em que a\lt b. Se g(x)=\int_a^x f(t)\,dt e f(x)=1-\int_a^x g(t)\,dt, então f''(x)=-f(x) e g''(x)=-g(x) para todo x\in[a,b].
Questão 07
Enunciado
Julgue as seguintes afirmativas como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 07
Julgue as seguintes afirmativas como verdadeiras ou falsas:
A sequência de números reais (x_n) com termo geral x_n=1-(1/3)^{2^n} converge para 2/3.
Enunciado da questão 07
Julgue as seguintes afirmativas como verdadeiras ou falsas:
\lim_{n\to\infty}\cos(2025\pi n)=1.
Enunciado da questão 07
Julgue as seguintes afirmativas como verdadeiras ou falsas:
Se (x_n) é uma sequência de números reais com a propriedade de que x_{n+1}\leq \frac{x_n+x_{n+2}}{2} para todo n\geq 1, e x=\lim_{n\to+\infty}x_n, então x\leq 0.
Enunciado da questão 07
Julgue as seguintes afirmativas como verdadeiras ou falsas:
\sum_{n=-1}^{+\infty}44(45)^{-n}=2025.
Enunciado da questão 07
Julgue as seguintes afirmativas como verdadeiras ou falsas:
\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{(2025\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!}=0.
Questão 08
Enunciado
Seja d a diferença entre o maior e o menor valor possíveis de serem atingidos pela expressão 7y+(x-y)/7, em que x e y são números reais não negativos tais que x \le (7-y)^3. Calcule d.
Informe um número de 00 a 99
Conferência local. Entre ou desbloqueie o acesso para salvar seu desempenho.
Questão 09
Enunciado
Dados uma função derivável f: \mathbb{R} \to (0,\infty) e um t \in \mathbb{R} quaisquer, a taxa de crescimento de f em t é definida pela razão f'(t)/f(t), e denotamos por \hat{f}(t) o resultado da razão f'(t)/f(t). Avalie a veracidade das sentenças abaixo:
Enunciado da questão 09
Dados uma função derivável f: \mathbb{R} \to (0,\infty) e um t \in \mathbb{R} quaisquer, a taxa de crescimento de f em t é definida pela razão f'(t)/f(t), e denotamos por \hat{f}(t) o resultado da razão f'(t)/f(t). Avalie a veracidade das sentenças abaixo:
Se f,g: \mathbb{R} \to (0,\infty) são deriváveis e t \in \mathbb{R}, então \widehat{(f+g)}(t)=\hat{f}(t)+\hat{g}(t).
Enunciado da questão 09
Dados uma função derivável f: \mathbb{R} \to (0,\infty) e um t \in \mathbb{R} quaisquer, a taxa de crescimento de f em t é definida pela razão f'(t)/f(t), e denotamos por \hat{f}(t) o resultado da razão f'(t)/f(t). Avalie a veracidade das sentenças abaixo:
Se f,g: \mathbb{R} \to (0,\infty) são deriváveis e t \in \mathbb{R}, então \widehat{(fg)}(t)=\hat{f}(t)\hat{g}(t).
Enunciado da questão 09
Dados uma função derivável f: \mathbb{R} \to (0,\infty) e um t \in \mathbb{R} quaisquer, a taxa de crescimento de f em t é definida pela razão f'(t)/f(t), e denotamos por \hat{f}(t) o resultado da razão f'(t)/f(t). Avalie a veracidade das sentenças abaixo:
Se f: \mathbb{R} \to (0,\infty) é derivável e t \in \mathbb{R}, então \widehat{(1/f)}(t)=-\hat{f}(t).
Enunciado da questão 09
Dados uma função derivável f: \mathbb{R} \to (0,\infty) e um t \in \mathbb{R} quaisquer, a taxa de crescimento de f em t é definida pela razão f'(t)/f(t), e denotamos por \hat{f}(t) o resultado da razão f'(t)/f(t). Avalie a veracidade das sentenças abaixo:
Se f: \mathbb{R} \to (0,\infty) é derivável e t \in \mathbb{R}, então \widehat{(\exp \circ f)}(t)=(\ln \circ f)'(t); onde \exp denota a função exponencial e \ln a função logarítmica, ambos de base e.
Enunciado da questão 09
Dados uma função derivável f: \mathbb{R} \to (0,\infty) e um t \in \mathbb{R} quaisquer, a taxa de crescimento de f em t é definida pela razão f'(t)/f(t), e denotamos por \hat{f}(t) o resultado da razão f'(t)/f(t). Avalie a veracidade das sentenças abaixo:
Se f: \mathbb{R} \to (0,\infty) é derivável e t \in \mathbb{R}, então \widehat{(f \circ f)}(t)=\hat{f}(f(t))\hat{f}(t)f(t).
Questão 10
Enunciado
Considere o contexto em que um investimento inicial de A>0 unidades monetárias pode ser aplicado, no período inicial t=0, em apenas um dentre dois ativos disponíveis. O primeiro ativo remunera a uma taxa de juros r>0 e, devido a custos operacionais, deduz do saldo um valor B_t em cada período t=0,1,2,\ldots. Ainda, dada uma aplicação inicial x_0=A>0, o valor no instante t+1 satisfaz x_{t+1}=(1+r)x_t-B_t, onde \forall t \ge 0, B_{t+1}=\left(\frac{1+r}{2}\right)B_t e B_0=A/2. Com respeito ao segundo ativo, uma mesma aplicação inicial y_0=A>0 implica y_{t+1}=(1+\bar{r})y_t, onde \bar{r}>0. Sabendo que \frac{1+r}{1+\bar{r}}=V \ge 0 e \lim_{tto+\infty}\frac{x_t}{y_t}=\frac{1}{2}, determine o valor de V.
Informe um número de 00 a 99
Conferência local. Entre ou desbloqueie o acesso para salvar seu desempenho.