Questão 01 — Matemática · ANPEC 2025
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Enunciado da questão
Seja \mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\} o conjunto dos números naturais. Para cada n \in \mathbb{N}, P_n=\{1,2,\ldots,n\} denota o conjunto dos n primeiros números naturais. Dado X \subseteq \mathbb{N}, denote por \mathcal{S}(X) a coleção de todos os subconjuntos de X, ou seja, \mathcal{S}(X)=\{A \subseteq \mathbb{N}: A \subseteq X\}. Dado um conjunto finito X, seja card(X) o número de elementos de X. Por fim, dados dois conjuntos X e Y, a diferença simétrica entre eles é X triangle Y=\{x \in X \cup Y: x \notin X \cap Y\}. Julgue as seguintes afirmativas:
Item 0
P_5 \subseteq P_4 \cup \{5\}.
Item 1
Se A,B,C \in \mathcal{S}(P_3) satisfazem as condições card(A triangle B)=1 e card(B triangle C)=1, então card(A triangle C)=1.
Item 2
Existe função sobrejetora de P_{2025} para P_{2024}.
Item 3
Para todo n \in \mathbb{N}, é verdade que P_n triangle P_1 \in \mathcal{S}(P_{n+1}).
Item 4
A função F: \mathbb{N} \to \mathcal{S}(\mathbb{N}) definida pela regra F(n)=P_{n+1} é injetora.