ANPEC 2025 — Matemática – Anpec 2025 — Questão 02
Enunciado da questão
No espaço vetorial \mathbb{R}^2, cada vetor x=(x_1,x_2) pode ser associado aos números reais dados pelas expressões \|x\|_M=\max\{|x_1|,|x_2|\}, \|x\|_E=\sqrt{x_1^2+x_2^2}, \|x\|_S=|x_1|+|x_2|. Fixados \alpha,\beta\in[0,1], considere a matriz A=\begin{bmatrix}\alpha & 1-\alpha \\ \beta & 1-\beta\end{bmatrix}. Ainda, denote por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x,y\in\mathbb{R}^2. Julgue as seguintes afirmativas:
Analise a afirmativa
Se x \in C={z \in \mathbb{R}^2: ||z||_M=1}, então Ax \in C.
Analise a afirmativa
Se x=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 é tal que |x_1|=|x_2|=1, então ||x||_M=||x||_E=||x||_S.
Analise a afirmativa
Se \alpha+\beta=1 e \alpha\gt\beta, então A é uma matriz simétrica que cumpre \langle x,Ax\rangle\gt 0 para todo x\in\mathbb{R}^2 tal que x\neq(0,0).
Analise a afirmativa
Se 0\lt\alpha\lt 1 e 0\lt\beta\lt 1, então a matriz A define uma bijeção L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por meio da expressão L(x)=Ax.
Analise a afirmativa
A função F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida pela regra F(x)=\langle x,Ax\rangle satisfaz |F(x)|\leq \|Ax\|_M sempre que \|x\|_S=1.