ANPEC 2025 — Matemática – Anpec 2025 — Questão 03

Seja A uma matriz quadrada e A^t a sua transposta. Se B=A+A^t e A é simétrica, então as matrizes A e B têm o mesmo núcleo.

Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo dos reais e U um subespaço vetorial de V. Suponha que U tem dimensão N \ge 1 e que o vetor x \in V satisfaz x \notin U. Nesse caso, vale que o conjunto W={u+tx: u \in U, t \in \mathbb{R}} é um subespaço vetorial de V e W tem dimensão N+1.

Seja L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m uma transformação linear tal que para qualquer x \in \mathbb{R}^n vale que L(x)=(y_1,\ldots,y_m) \in \mathbb{R}^m satisfaz y_i \ge 0 para todo i=1,\ldots,m. Nesse caso, a matriz que representa L é a matriz nula.

Seja o conjunto X no \mathbb{R}^3 definido por X={(10/3,-8/3,0)+t(1,7,3): t \in \mathbb{R}}. Se x^* \in \mathbb{R}^3 minimiza a função f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2 sujeito às restrições 2x_1+x_2-3x_3=4 e x_1-x_2+2x_3=6, então x^* \notin X.

Considere H:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por H(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,4x_1+x_2,0). Então H é uma transformação linear que é diagonalizável e dois de seus autovalores também são autovalores da matriz \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 4 & 1\end{bmatrix}.