Estatística · ANPEC 2027
Inferência em regressão linear
Considere o seguinte modelo linear para uma relação entre variáveis Y, X_1 e X_2 numa população de interesse:
Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+U,\quad E[U\mid X_1,X_2]=0,\quad V[U\mid X_1,X_2]=\sigma_U^2,
onde, ademais, sabemos que X_2 é independente de X_1. Suponha que o pesquisador obteve acesso a uma amostra aleatória \{Y_i,X_{i,1},X_{i,2}\}_{i=1}^n da população em que vale o modelo de interesse, e que na amostra os regressores X_{i,1}, X_{i,2} e o intercepto não exibem colinearidade perfeita. Suponha, ademais, que todas as variáveis aleatórias têm variância positiva e finita.
No que segue, indique se as alternativas são verdadeiras ou falsas:
A hipótese de independência entre X_1 e X_2 pode ser falseada a partir da estimação e teste de hipótese numa especificação linear que regride X_2 em um intercepto e em X_1, mas não em uma especificação que regride X_1 em um intercepto, em X_2 e em X_2^2.
O estimador de mínimos quadrados ordinários de \beta_1 computado a partir da especificação que omite X_2 da regressão não apresentará viés somente se \beta_2=0.
Se \beta_2\ne 0, a variância do estimador de mínimos quadrados de \beta_1 da especificação que omite X_2 da regressão não pode, no geral, ser ranqueada com respeito à variância do estimador de \beta_1 da especificação que inclui X_2.
Se o tamanho amostral n é suficientemente grande e \beta_2\ne 0, esperamos que a variância do estimador de mínimos quadrados ordinários de \beta_1 da especificação que omite X_2 da regressão seja inferior à do estimador de \beta_1 da especificação que inclui X_2.
Se \beta_2=0, a variância do estimador de \beta_1 da especificação que omite X_2 da regressão é inferior à variância do estimador de \beta_1 da especificação que inclui X_2.
A independência implica E[X_2\mid X_1]=E[X_2] e E[X_1\mid X_2]=E[X_1]. Assim, ela impõe coeficiente angular nulo na primeira regressão e coeficientes nulos tanto para X_2 quanto para X_2^2 na segunda, desde que esta esteja bem definida e identificada. …
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