Questão 04 — Matemática · ANPEC 2020

Dado um número inteiro positivo n\geq 1, para cada k\in\{0,1,\ldots,n\} o coeficiente binomial \binom{n}{k} é definido como \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. Duas de suas propriedades básicas são: \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} para todo k\in\{0,1,\ldots,n\}; e \binom{n}{k}\geq1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2} para todo k\in\{2,\ldots,n-2\}. Definimos uma sequência (x_n)_{n\geq 1} a partir da soma dos inversos dos coeficientes binomiais, ou seja, para cada inteiro positivo n\geq 1, x_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{binom{n}{k}}. Determine \lim_{n\to\infty}x_n.