Matemática – Anpec 2020
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Questões da prova
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Questão 01
Enunciado
Seja \mathbb{N}^*=\{1,2,\ldots\} o conjunto dos números inteiros positivos e denote por A_n=\{1,\ldots,n\} o conjunto dos n primeiros números inteiros positivos. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{N}^*=\{1,2,\ldots\} o conjunto dos números inteiros positivos e denote por A_n=\{1,\ldots,n\} o conjunto dos n primeiros números inteiros positivos. Julgue as seguintes afirmativas:
Se n\gt m, então A_n\subseteq A_m.
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{N}^*=\{1,2,\ldots\} o conjunto dos números inteiros positivos e denote por A_n=\{1,\ldots,n\} o conjunto dos n primeiros números inteiros positivos. Julgue as seguintes afirmativas:
O produto cartesiano A_2\times A_3 é igual ao conjunto \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}.
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{N}^*=\{1,2,\ldots\} o conjunto dos números inteiros positivos e denote por A_n=\{1,\ldots,n\} o conjunto dos n primeiros números inteiros positivos. Julgue as seguintes afirmativas:
Seja B_n=A_n^c\cap\mathbb{N}^*, é verdade que para todo n\in\mathbb{N}^*, B_n\cap A_{2n} tem n elementos.
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{N}^*=\{1,2,\ldots\} o conjunto dos números inteiros positivos e denote por A_n=\{1,\ldots,n\} o conjunto dos n primeiros números inteiros positivos. Julgue as seguintes afirmativas:
Seja B_n=A_n^c\cap\mathbb{N}^*, existe um número inteiro positivo m\in\mathbb{N}^* tal que m\in B_n para todo n\in\mathbb{N}^*.
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{N}^*=\{1,2,\ldots\} o conjunto dos números inteiros positivos e denote por A_n=\{1,\ldots,n\} o conjunto dos n primeiros números inteiros positivos. Julgue as seguintes afirmativas:
Seja B_n=A_n^c\cap\mathbb{N}^*, (A_1\cup B_3)^c\cap\mathbb{N}^*=\{2,3\} e (B_1\cap A_3)^c\cap\mathbb{N}^*=\{n\in\mathbb{N}^*:n\geq 4\}.
Questão 02
Enunciado
Considere a função f:Xto Y dada por f(x)=\max{x,-x}, para todo xin X, em que X=[-1,0]\cup[1,2] e Y=[0,2].
Enunciado da questão 02
Considere a função f:Xto Y dada por f(x)=\max{x,-x}, para todo xin X, em que X=[-1,0]\cup[1,2] e Y=[0,2].
f é uma função injetora.
Enunciado da questão 02
Considere a função f:Xto Y dada por f(x)=\max{x,-x}, para todo xin X, em que X=[-1,0]\cup[1,2] e Y=[0,2].
f é uma função sobrejetora.
Enunciado da questão 02
Considere a função f:Xto Y dada por f(x)=\max{x,-x}, para todo xin X, em que X=[-1,0]\cup[1,2] e Y=[0,2].
f admite função inversa f^{-1}:Yto X.
Enunciado da questão 02
Considere a função f:Xto Y dada por f(x)=\max{x,-x}, para todo xin X, em que X=[-1,0]\cup[1,2] e Y=[0,2].
f^{-1} não é contínua em Y.
Enunciado da questão 02
Considere a função f:Xto Y dada por f(x)=\max{x,-x}, para todo xin X, em que X=[-1,0]\cup[1,2] e Y=[0,2].
\int_0^2 f^{-1}(t),dt>\int_1^2 f(t),dt.
Questão 03
Enunciado
Seja a\gt 0. Considere a seguinte função f de variável real com valores reais, definida da seguinte forma:
f(x)=\begin{cases}-(x-1)^2, & \text{se } x\leq 1 \\ \frac{1}{2}(x-1)^2, & \text{se } 1\lt x\leq 2 \\ a+\ln\sqrt{x-1}, & \text{se } x\gt 2\end{cases}
Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 03
Seja a\gt 0. Considere a seguinte função f de variável real com valores reais, definida da seguinte forma:
f(x)=\begin{cases}-(x-1)^2, & \text{se } x\leq 1 \\ \frac{1}{2}(x-1)^2, & \text{se } 1\lt x\leq 2 \\ a+\ln\sqrt{x-1}, & \text{se } x\gt 2\end{cases}
Julgue as seguintes afirmativas:
Para todos os valores de a>0, a função f é contínua em todo seu domínio.
Enunciado da questão 03
Seja a\gt 0. Considere a seguinte função f de variável real com valores reais, definida da seguinte forma:
f(x)=\begin{cases}-(x-1)^2, & \text{se } x\leq 1 \\ \frac{1}{2}(x-1)^2, & \text{se } 1\lt x\leq 2 \\ a+\ln\sqrt{x-1}, & \text{se } x\gt 2\end{cases}
Julgue as seguintes afirmativas:
Para a=\frac{1}{2}, a função f é diferenciável em todos os pontos do domínio.
Enunciado da questão 03
Seja a\gt 0. Considere a seguinte função f de variável real com valores reais, definida da seguinte forma:
f(x)=\begin{cases}-(x-1)^2, & \text{se } x\leq 1 \\ \frac{1}{2}(x-1)^2, & \text{se } 1\lt x\leq 2 \\ a+\ln\sqrt{x-1}, & \text{se } x\gt 2\end{cases}
Julgue as seguintes afirmativas:
Se a=\frac{1}{2}, f'(2) existe e f'(2)>1.
Enunciado da questão 03
Seja a\gt 0. Considere a seguinte função f de variável real com valores reais, definida da seguinte forma:
f(x)=\begin{cases}-(x-1)^2, & \text{se } x\leq 1 \\ \frac{1}{2}(x-1)^2, & \text{se } 1\lt x\leq 2 \\ a+\ln\sqrt{x-1}, & \text{se } x\gt 2\end{cases}
Julgue as seguintes afirmativas:
O ponto x=1 é um ponto de inflexão, ou seja, a função muda de concavidade em x=1.
Enunciado da questão 03
Seja a\gt 0. Considere a seguinte função f de variável real com valores reais, definida da seguinte forma:
f(x)=\begin{cases}-(x-1)^2, & \text{se } x\leq 1 \\ \frac{1}{2}(x-1)^2, & \text{se } 1\lt x\leq 2 \\ a+\ln\sqrt{x-1}, & \text{se } x\gt 2\end{cases}
Julgue as seguintes afirmativas:
A função f atinge um máximo relativo em x=1, pois f'(1)=0.
Questão 04
Enunciado
Dado um número inteiro positivo ngeq1, para cada kin{0,1,\ldots,n} o coeficiente binomial binom{n}{k} é definido como binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. Duas de suas propriedades básicas são: binom{n}{k}=binom{n}{n-k} para todo kin{0,1,\ldots,n}; e binom{n}{k}\geq1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2} para todo kin{2,\ldots,n-2}. Definimos uma sequência (x_n)_{ngeq1} a partir da soma dos inversos dos coeficientes binomiais, ou seja, para cada inteiro positivo ngeq1, x_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{binom{n}{k}}. Determine \lim_{ntoinfty}x_n.
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Questão 05
Enunciado
Seja a função z(x,y) definida implicitamente por F(x,y,z)=xln z+zln y-z^2-xln y+x=0. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 05
Seja a função z(x,y) definida implicitamente por F(x,y,z)=xln z+zln y-z^2-xln y+x=0. Julgue as seguintes afirmativas:
O valor de F no ponto (e^2-e,e,e) é zero.
Enunciado da questão 05
Seja a função z(x,y) definida implicitamente por F(x,y,z)=xln z+zln y-z^2-xln y+x=0. Julgue as seguintes afirmativas:
O valor \frac{\partial F}{\partial z} no ponto (e^2-e,e,e) é zero.
Enunciado da questão 05
Seja a função z(x,y) definida implicitamente por F(x,y,z)=xln z+zln y-z^2-xln y+x=0. Julgue as seguintes afirmativas:
z não pode ser definida implicitamente como função de (x,y) ao redor do ponto (e^2-e,e,e).
Enunciado da questão 05
Seja a função z(x,y) definida implicitamente por F(x,y,z)=xln z+zln y-z^2-xln y+x=0. Julgue as seguintes afirmativas:
O vetor \left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right) no ponto (e^2-e,e,e) é \left(\frac{1}{e},\frac{2}{e}-1\right).
Enunciado da questão 05
Seja a função z(x,y) definida implicitamente por F(x,y,z)=xln z+zln y-z^2-xln y+x=0. Julgue as seguintes afirmativas:
Se v é o vetor normal à superfície definida por F(x,y,z)=0 no ponto (e^2-e,e,e), então v é ortogonal ao vetor (1,1,1).
Questão 06
Enunciado
Considere a transformação linear f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
f(x,y)=(2x+y,x+2y,x+y).
Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 06
Considere a transformação linear f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
f(x,y)=(2x+y,x+2y,x+y).
Julgue as seguintes afirmativas:
f é uma transformação linear injetora.
Enunciado da questão 06
Considere a transformação linear f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
f(x,y)=(2x+y,x+2y,x+y).
Julgue as seguintes afirmativas:
f é uma transformação linear sobrejetora.
Enunciado da questão 06
Considere a transformação linear f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
f(x,y)=(2x+y,x+2y,x+y).
Julgue as seguintes afirmativas:
Os vetores (2,1,1) e (1,2,1) formam uma base para a imagem de f.
Enunciado da questão 06
Considere a transformação linear f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
f(x,y)=(2x+y,x+2y,x+y).
Julgue as seguintes afirmativas:
A matriz associada à transformação linear f tem posto (rank) menor do que o posto da matriz jacobiana, denotada por Jf(x,y), de f em todo ponto (x,y)\in\mathbb{R}^2.
Enunciado da questão 06
Considere a transformação linear f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
f(x,y)=(2x+y,x+2y,x+y).
Julgue as seguintes afirmativas:
Considere a função h:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} definida por h(r,s,t)=r^2+s^2+t^2. A composta g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, definida por g(x,y)=h(f(x,y)), satisfaz:
Jg(x,y)=\begin{pmatrix}4x+2y & 2x+4y & 2x+2y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Questão 07
Enunciado
Dado um número real r\in\mathbb{R}, considere as matrizes
A_r=\begin{pmatrix}1 & r & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{35}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{35}} & \frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{35}} & -\frac{1}{\sqrt{14}}\end{pmatrix}.
Enunciado da questão 07
Dado um número real r\in\mathbb{R}, considere as matrizes
A_r=\begin{pmatrix}1 & r & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{35}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{35}} & \frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{35}} & -\frac{1}{\sqrt{14}}\end{pmatrix}.
A equação característica de A_r é (1-\lambda)(\lambda^2+\lambda-3(1+r))=0.
Enunciado da questão 07
Dado um número real r\in\mathbb{R}, considere as matrizes
A_r=\begin{pmatrix}1 & r & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{35}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{35}} & \frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{35}} & -\frac{1}{\sqrt{14}}\end{pmatrix}.
Todos os autovalores associados à matriz A_r são números reais se, e somente se, r=3.
Enunciado da questão 07
Dado um número real r\in\mathbb{R}, considere as matrizes
A_r=\begin{pmatrix}1 & r & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{35}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{35}} & \frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{35}} & -\frac{1}{\sqrt{14}}\end{pmatrix}.
Os autovalores da matriz A_3 são -4, 1 e 3.
Enunciado da questão 07
Dado um número real r\in\mathbb{R}, considere as matrizes
A_r=\begin{pmatrix}1 & r & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{35}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{35}} & \frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{35}} & -\frac{1}{\sqrt{14}}\end{pmatrix}.
As colunas da matriz B são autovetores da matriz A_3.
Enunciado da questão 07
Dado um número real r\in\mathbb{R}, considere as matrizes
A_r=\begin{pmatrix}1 & r & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{35}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{35}} & \frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{35}} & -\frac{1}{\sqrt{14}}\end{pmatrix}.
O produto das matrizes B^tA_3B é igual à matriz \begin{pmatrix}-4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}.
Questão 08
Enunciado
Julgue a veracidade das seguintes afirmações:
Enunciado da questão 08
Julgue a veracidade das seguintes afirmações:
Dada uma constante k\gt 1, \lim_{a\to 0^+}\int_a^{ka}\frac{1}{x}\,dx=0.
Enunciado da questão 08
Julgue a veracidade das seguintes afirmações:
\lim_{n\to\infty}\int_0^1\left(x^{\frac{1}{n}}-x^n\right)\,dx=1.
Enunciado da questão 08
Julgue a veracidade das seguintes afirmações:
\int_0^{\pi}e^xsin(x),dx=1+e^{\pi}.
Enunciado da questão 08
Julgue a veracidade das seguintes afirmações:
\int_{-1}^{1}\frac{x^{2020}(\cos x)^{21}\sin x}{(x^2+1)^{2020}|x|},dx=0.
Enunciado da questão 08
Julgue a veracidade das seguintes afirmações:
\ln(2)>2\int_0^1\frac{x}{1+x^2},dx.
Questão 09
Enunciado
Julgue a veracidade das seguintes afirmações:
Enunciado da questão 09
Julgue a veracidade das seguintes afirmações:
A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n} é absolutamente convergente.
Enunciado da questão 09
Julgue a veracidade das seguintes afirmações:
Se a série \sum_{n=1}^{\infty}x_n é absolutamente convergente, então \sum_{n=1}^{\infty}x_n é convergente.
Enunciado da questão 09
Julgue a veracidade das seguintes afirmações:
A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n n^3}{e^n} é convergente.
Enunciado da questão 09
Julgue a veracidade das seguintes afirmações:
A integral \int_0^{+\infty}e^{-x}\operatorname{sen}^2(x)\,dx é convergente e seu valor é menor ou igual a 1.
Enunciado da questão 09
Julgue a veracidade das seguintes afirmações:
A integral \int_1^{+\infty}\frac{x^3}{x^4+4},dx é convergente.
Questão 10
Enunciado
Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
Enunciado da questão 10
Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
A função x(t)=e^t+1 é uma solução para a equação diferencial x'(t)=x(t)+t em \mathbb{R}.
Enunciado da questão 10
Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
Sabendo que x_0=4, temos que x_t=\left(\frac{2}{3}\right)^t+3 é solução da equação em diferenças 3x_{t+1}=2x_t+3.
Enunciado da questão 10
Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
Considere funções de demanda e oferta de um determinado bem dadas, respectivamente, por d(p)=a_0-b_0p e s(p)=a_1+b_1p, em que a_0,b_0,a_1,b_1 são constantes positivas e a_0\gt a_1. Supondo que o preço p=p(t) varie com o tempo de modo que p'(t)=\lambda(d(p)-s(p)), com \lambda\gt 0, tem-se que existe uma constante real C tal que p(t)=Ce^{-\lambda(a_0-a_1)t}+\frac{a_0-a_1}{b_0+b_1}.
Em particular, quando t\to\infty, p(t) converge para o preço de equilíbrio p^e=\frac{a_0-a_1}{b_0+b_1}.
Enunciado da questão 10
Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
As funções x_1(t)=\sin(t) e x_2(t)=\cos(t) são as únicas soluções para a equação diferencial x''(t)+x(t)=0.
Enunciado da questão 10
Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
Se a,b\in\mathbb{R} satisfazem a^2=4b, então a solução geral para a equação x''(t)+ax'(t)+bx(t)=0 é x(t)=(A+Bt)e^{-\left(\frac{a}{2}\right)t}, em que A,B\in\mathbb{R} são constantes.
Questão 11
Enunciado
Calcule o valor da integral \int_0^3\left(\int_{\frac{4x}{3}}^{\sqrt{25-x^2}}6x\,dy\right)dx.
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Questão 12
Enunciado
Julgue a veracidade das afirmações abaixo:
Enunciado da questão 12
Julgue a veracidade das afirmações abaixo:
Considere a função f(x,y)=e^{x/y+1}+\frac{y}{x}, em que x>0 e y>0. Existem a>0 e b>0 tais que \langle(a,b),\nabla f(a,b)\rangle>0.
Enunciado da questão 12
Julgue a veracidade das afirmações abaixo:
Dada a função f(x,y)=xe^{x/y}, todo plano tangente ao gráfico de f contém a origem.
Enunciado da questão 12
Julgue a veracidade das afirmações abaixo:
Dada a função f(x,y)=\frac{2yln(1+x)}{y^2+\ln^2(1+x)}, a curva de nível C(1)={(x,y)\in D_f:f(x,y)=1} coincide com o gráfico da função h(x)=\ln(1+x), x>-1.
Enunciado da questão 12
Julgue a veracidade das afirmações abaixo:
Dada f:\mathbb{R}^ntomathbb{R} uma função de classe C^1 e um ponto xinmathbb{R}^n tal que o gradiente \nabla f(x) é não nulo, o vetor \nabla f(x) indica a direção de maior crescimento da função f a partir do ponto x.
Enunciado da questão 12
Julgue a veracidade das afirmações abaixo:
Considere a curva derivável \gamma:(a,b)subseteqmathbb{R}tomathbb{R}^2, \gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t)), a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} de classe C^1 e f(\gamma(t))=cinmathbb{R} para todo tin(a,b). Então os vetores \nabla f(\gamma(t)) e (\gamma_1'(t),\gamma_2'(t)) são ortogonais para todo tin(a,b).
Questão 13
Enunciado
Sejam f(x)=(4x-1)e^{-2x} e g(x)=(4x+1)e^{-2x}. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 13
Sejam f(x)=(4x-1)e^{-2x} e g(x)=(4x+1)e^{-2x}. Julgue as seguintes afirmativas:
As funções f e g atingem seus pontos de máximo no intervalo [2,\infty).
Enunciado da questão 13
Sejam f(x)=(4x-1)e^{-2x} e g(x)=(4x+1)e^{-2x}. Julgue as seguintes afirmativas:
Sejam x_0 e y_0 os pontos de máximo das funções f e g, respectivamente. Então f(x_0)>g(y_0).
Enunciado da questão 13
Sejam f(x)=(4x-1)e^{-2x} e g(x)=(4x+1)e^{-2x}. Julgue as seguintes afirmativas:
f(x)\lt 1, para todo x real.
Enunciado da questão 13
Sejam f(x)=(4x-1)e^{-2x} e g(x)=(4x+1)e^{-2x}. Julgue as seguintes afirmativas:
g(x)\lt 1, para todo x real.
Enunciado da questão 13
Sejam f(x)=(4x-1)e^{-2x} e g(x)=(4x+1)e^{-2x}. Julgue as seguintes afirmativas:
\lim_{x\to\infty}f(x)\neq \lim_{x\to\infty}g(x).
Questão 14
Enunciado
Avalie as afirmações abaixo quanto à sua veracidade:
Enunciado da questão 14
Avalie as afirmações abaixo quanto à sua veracidade:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2^x}{x^2}=+\infty.
Enunciado da questão 14
Avalie as afirmações abaixo quanto à sua veracidade:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}e^{-x}=1.
Enunciado da questão 14
Avalie as afirmações abaixo quanto à sua veracidade:
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}=1.
Enunciado da questão 14
Avalie as afirmações abaixo quanto à sua veracidade:
\lim_{x\to 0^+}x\ln x=-\infty.
Enunciado da questão 14
Avalie as afirmações abaixo quanto à sua veracidade:
O limite \lim_{x\to+\infty}\frac{x+\operatorname{sen}(x)}{x} não existe.
Questão 15
Enunciado
Suponha que queremos otimizar f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, sujeito à restrição x^4+y^4+z^4=1. Sejam M e m os valores máximo e mínimo de f na restrição. Calcule M^2+m^2.
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