Questão de prova ANPEC

Questão 06 — Matemática · ANPEC 2020

5 itens V/F
Matérias
Matemática
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Transformações lineares, núcleo e imagem

Enunciado da questão

Considere a transformação linear f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por

f(x,y)=(2x+y,x+2y,x+y).

Julgue as seguintes afirmativas:

Afirmativa

Item 0

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Matemática Transformações lineares, núcleo e imagem

f é uma transformação linear injetora.

Afirmativa

Item 1

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f é uma transformação linear sobrejetora.

Afirmativa

Item 2

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Os vetores (2,1,1) e (1,2,1) formam uma base para a imagem de f.

Afirmativa

Item 3

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A matriz associada à transformação linear f tem posto (rank) menor do que o posto da matriz jacobiana, denotada por Jf(x,y), de f em todo ponto (x,y)\in\mathbb{R}^2.

Afirmativa

Item 4

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Considere a função h:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} definida por h(r,s,t)=r^2+s^2+t^2. A composta g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, definida por g(x,y)=h(f(x,y)), satisfaz:

Jg(x,y)=\begin{pmatrix}4x+2y & 2x+4y & 2x+2y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}.