Questão 12 — Matemática · ANPEC 2020
Enunciado da questão
Julgue a veracidade das afirmações abaixo:
Item 0
Considere a função f(x,y)=e^{x/y+1}+\frac{y}{x}, em que x>0 e y>0. Existem a>0 e b>0 tais que \langle(a,b),\nabla f(a,b)\rangle>0.
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Item 1
Dada a função f(x,y)=xe^{x/y}, todo plano tangente ao gráfico de f contém a origem.
Item 2
Dada a função f(x,y)=\frac{2yln(1+x)}{y^2+\ln^2(1+x)}, a curva de nível C(1)=\{(x,y)\in D_f:f(x,y)=1\} coincide com o gráfico da função h(x)=\ln(1+x), x>-1.
Item 3
Dada f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} uma função de classe C^1 e um ponto x\in\mathbb{R}^n tal que o gradiente \nabla f(x) é não nulo, o vetor \nabla f(x) indica a direção de maior crescimento da função f a partir do ponto x.
Item 4
Considere a curva derivável \gamma:(a,b)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, \gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t)), a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} de classe C^1 e f(\gamma(t))=c\in\mathbb{R} para todo t\in(a,b). Então os vetores \nabla f(\gamma(t)) e (\gamma_1'(t),\gamma_2'(t)) são ortogonais para todo t\in(a,b).
Não…
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