ANPEC 2020 — Matemática – Anpec 2020 — Questão 10

A função x(t)=e^t+1 é uma solução para a equação diferencial x'(t)=x(t)+t em \mathbb{R}.

Sabendo que x_0=4, temos que x_t=\left(\frac{2}{3}\right)^t+3 é solução da equação em diferenças 3x_{t+1}=2x_t+3.

Considere funções de demanda e oferta de um determinado bem dadas, respectivamente, por d(p)=a_0-b_0p e s(p)=a_1+b_1p, em que a_0,b_0,a_1,b_1 são constantes positivas e a_0\gt a_1. Supondo que o preço p=p(t) varie com o tempo de modo que p'(t)=\lambda(d(p)-s(p)), com \lambda\gt 0, tem-se que existe uma constante real C tal que p(t)=Ce^{-\lambda(a_0-a_1)t}+\frac{a_0-a_1}{b_0+b_1}.

Em particular, quando t\to\infty, p(t) converge para o preço de equilíbrio p^e=\frac{a_0-a_1}{b_0+b_1}.

As funções x_1(t)=\sin(t) e x_2(t)=\cos(t) são as únicas soluções para a equação diferencial x''(t)+x(t)=0.

Se a,b\in\mathbb{R} satisfazem a^2=4b, então a solução geral para a equação x''(t)+ax'(t)+bx(t)=0 é x(t)=(A+Bt)e^{-\left(\frac{a}{2}\right)t}, em que A,B\in\mathbb{R} são constantes.