Questão 06 — Estatística · ANPEC 2022
Enunciado da questão
Suponha que a variável aleatória X tem Distribuição de Poisson com média \tau, em que \tau\gt 0, e que a variável aleatória Y tem Distribuição de Poisson com média \mu, em que \mu\gt 0. Considere que X e Y são independentes. Supondo também que k e n são inteiros tais que 0\leq k\leq n, são corretas as afirmativas abaixo:
Item 0
Usando o fato de que (\tau+\mu)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\mu^{n-k}\tau^k, podemos dizer que, para qualquer n\gt 0, Prob(X+Y=n)=\frac{e^{-\tau-\mu}}{n!}.
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Item 1
Se Z=X+Y, E(Z)=\tau+\mu.
Item 2
Prob[(Y=k)\cap(X+Y=n)]=\frac{e^{-\tau}\tau^k}{k!}\frac{e^{-\mu}\mu^{n-k}}{(n-k)!}.
Item 3
Prob(Y=k|X+Y=n)=\frac{n!}{k!}\frac{\tau^kmu^{n-k}}{(\tau+\mu)^n}.
Item 4
A distribuição condicional de Y, dado que X+Y=n, é uma binomial com parâmetros n e \tau+\mu.
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