ANPEC 2026 — Matemática – Anpec 2026 — Questão 09
Enunciado da questão
Considere a equação a diferenças x_{t+2}+2x_{t+1}+4x_t=t2^t, \forall tinmathbb{N}. Avalie as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas:
Analise a afirmativa
Existem a,binmathbb{R} tais que a sequência \mathbf{x}=(x_t)_{tinmathbb{N}} de termo geral x_t=(at+b)2^t é uma solução desta equação.
Analise a afirmativa
Se \mathbf{x}=(x_t)_{tinmathbb{N}} é uma solução desta equação, então existem \gamma_1,\gamma_2inmathbb{R} tais que, para todo tinmathbb{N}, x_t=\left(\gamma_1cosleft(\frac{2\pi t}{3}\right)+\gamma_2\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi t}{3}\right)+\frac{t-1}{12}\right)2^t.
Analise a afirmativa
A equação dada tem um único estado estacionário.
Analise a afirmativa
O conjunto de soluções desta equação a diferenças é um espaço vetorial.
Analise a afirmativa
Existem soluções \mathbf{x}=(x_t)_{tinmathbb{N}}, \mathbf{y}=(y_t)_{tinmathbb{N}}, \mathbf{z}=(z_t)_{tinmathbb{N}} e \mathbf{w}=(w_t)_{tinmathbb{N}} da equação dada tais que a lista formada pelos vetores \mathbf{y}-\mathbf{x}, \mathbf{z}-\mathbf{x} e \mathbf{w}-\mathbf{x} é linearmente independente.