Matemática – Anpec 2026
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Questões da prova
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Questão 01
Enunciado
Considere o conjunto dos números reais \mathbb{R} munido das operações usuais de soma e produto. Dados x,y \in \mathbb{R}, classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
Enunciado da questão 01
Considere o conjunto dos números reais \mathbb{R} munido das operações usuais de soma e produto. Dados x,y \in \mathbb{R}, classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
Vale que x^2+y^2=0 se, e somente se, x=0 e y=0.
Enunciado da questão 01
Considere o conjunto dos números reais \mathbb{R} munido das operações usuais de soma e produto. Dados x,y \in \mathbb{R}, classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
Vale que
x^2 \lt y^2 se, e somente se,
\lvert x\rvert \lt \lvert y\rvert.
Enunciado da questão 01
Considere o conjunto dos números reais \mathbb{R} munido das operações usuais de soma e produto. Dados x,y \in \mathbb{R}, classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
Vale a desigualdade \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}, para todo x,y\geq 0.
Enunciado da questão 01
Considere o conjunto dos números reais \mathbb{R} munido das operações usuais de soma e produto. Dados x,y \in \mathbb{R}, classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
Se x^{2026}=y^{2026} então x-y=0 ou x+y=0.
Enunciado da questão 01
Considere o conjunto dos números reais \mathbb{R} munido das operações usuais de soma e produto. Dados x,y \in \mathbb{R}, classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
Se xy\lt0 então x\lt0 e y\gt0.
Questão 02
Enunciado
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2) sobre todo o seu domínio em todos os itens abaixo. Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
Enunciado da questão 02
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2) sobre todo o seu domínio em todos os itens abaixo. Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
A equação f(x,y)=c admite pelo menos uma solução (x_c,y_c)\in\mathbb{R}^2 para todo c\in\mathbb{R}.
Enunciado da questão 02
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2) sobre todo o seu domínio em todos os itens abaixo. Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
Se f(a,b)\lt 0 e f(c,d)\lt 0, então f\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)\lt 0.
Enunciado da questão 02
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2) sobre todo o seu domínio em todos os itens abaixo. Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
A origem é o único ponto crítico de f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e é classificada como um ponto de sela.
Enunciado da questão 02
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2) sobre todo o seu domínio em todos os itens abaixo. Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
A origem é ponto de mínimo local de f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} restrita ao conjunto G_h\subseteq\mathbb{R}^2, onde G_h é o gráfico de h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que h(x)=ax, com a\neq 0 arbitrário.
Enunciado da questão 02
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2) sobre todo o seu domínio em todos os itens abaixo. Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
A origem é ponto de máximo global de f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} restrita ao conjunto G_g\subseteq\mathbb{R}^2, onde G_g é o gráfico de g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que g(x)=ax^2, com a\gt 1 e a\neq 3 uma constante arbitrária.
Questão 03
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
O limite \lim_{nto +\infty}\left(\frac{n+2\ln 3+\ln 5}{n}\right)^{2n} existe e é maior do que 2025.
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se (x_n) e (y_n) são sequências de números reais tais que \lim_{ntoinfty}\frac{x_n+y_n}{2}=1, então \lim_{ntoinfty}x_n=\lim_{ntoinfty}y_n=1.
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\lim_{n\to\infty}\frac{100n+1000}{n^2(1+\sqrt{n})}=0.
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Seja f:[0,+\infty)tomathbb{R} uma função definida por f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2+x}{(2+x)^n} para todo xgeq 0, então f'(x)f''(x)>0 para todo x>0.
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A série \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-3)^{3n}}{(n+3)^3} converge.
Questão 04
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 04
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A função f:\mathbb{R}tomathbb{R} dada por f(0)=0 e f(x)=x+2x^2\operatorname{sen}(1/x) se xneq 0 não é diferenciável.
Enunciado da questão 04
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Considere as funções f,g:\mathbb{R}tomathbb{R} definidas por f(x)=e^x e g(x)=-x. Então, existe pelo menos uma escolha de valores x_1,x_2inmathbb{R}, com x_1\neq x_2, tais que a matriz \begin{pmatrix} f(x_1) & g(x_1) \ f(x_2) & g(x_2) \end{pmatrix} admite inversa.
Enunciado da questão 04
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Seja a matriz 3\times 2 dada por A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\2&2\end{pmatrix}. Então, a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por f(x)=Ax é uma transformação linear injetora.
Enunciado da questão 04
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Dada a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=\operatorname{sen}(x_1)\cos(x_2) e todo seu domínio, a função T:\mathbb{R}^2tomathbb{R} em que T(x_1,x_2)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_2 é uma transformação linear e \nabla T(x_1,x_2) é perpendicular ao vetor (1,-1), \forall (x_1,x_2)inmathbb{R}^2.
Enunciado da questão 04
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Sejam f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} duas funções homogêneas de grau 1, onde f é sobrejetora. Defina a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 de modo que h(x)=(f(x),g(x)). Então, o conjunto V={h(x):x\in\mathbb{R}} é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^2 com \dim(V)\lt 2.
Questão 05
Enunciado
Seja V=\mathbb{R}^3 e denote por \langle x,y\rangle o produto interno usual no \mathbb{R}^3. Fixados u,v\in V vetores não nulos, tome os seguintes conjuntos S=\{x\in V:\langle u,x\rangle=0\} e T=\{x\in V:\langle v,x\rangle=0\}, além de W=S\cap T. Julgue as assertivas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 05
Seja V=\mathbb{R}^3 e denote por \langle x,y\rangle o produto interno usual no \mathbb{R}^3. Fixados u,v\in V vetores não nulos, tome os seguintes conjuntos S=\{x\in V:\langle u,x\rangle=0\} e T=\{x\in V:\langle v,x\rangle=0\}, além de W=S\cap T. Julgue as assertivas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Se os vetores u e v são linearmente independentes, então W contém apenas o vetor nulo do espaço V.
Enunciado da questão 05
Seja V=\mathbb{R}^3 e denote por \langle x,y\rangle o produto interno usual no \mathbb{R}^3. Fixados u,v\in V vetores não nulos, tome os seguintes conjuntos S=\{x\in V:\langle u,x\rangle=0\} e T=\{x\in V:\langle v,x\rangle=0\}, além de W=S\cap T. Julgue as assertivas abaixo como verdadeiras ou falsas:
O conjunto C=\{x+y:x\in S,\ y\in T\} é um subespaço vetorial de V com a propriedade de que C\subseteq W.
Enunciado da questão 05
Seja V=\mathbb{R}^3 e denote por \langle x,y\rangle o produto interno usual no \mathbb{R}^3. Fixados u,v\in V vetores não nulos, tome os seguintes conjuntos S=\{x\in V:\langle u,x\rangle=0\} e T=\{x\in V:\langle v,x\rangle=0\}, além de W=S\cap T. Julgue as assertivas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Se os vetores u e v são linearmente dependentes, então S=T.
Enunciado da questão 05
Seja V=\mathbb{R}^3 e denote por \langle x,y\rangle o produto interno usual no \mathbb{R}^3. Fixados u,v\in V vetores não nulos, tome os seguintes conjuntos S=\{x\in V:\langle u,x\rangle=0\} e T=\{x\in V:\langle v,x\rangle=0\}, além de W=S\cap T. Julgue as assertivas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Suponha que u\neq v e seja W^\perp o complemento ortogonal de W. Então, W^\perp é um subespaço vetorial de V em que \dim W^\perp=2.
Enunciado da questão 05
Seja V=\mathbb{R}^3 e denote por \langle x,y\rangle o produto interno usual no \mathbb{R}^3. Fixados u,v\in V vetores não nulos, tome os seguintes conjuntos S=\{x\in V:\langle u,x\rangle=0\} e T=\{x\in V:\langle v,x\rangle=0\}, além de W=S\cap T. Julgue as assertivas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Se u=(2,1,2) e v=(0,1,0), então o conjunto W contém o subespaço invariante associado ao autovalor negativo da matriz \begin{pmatrix}-2&0&-3/2\\0&1&0\\3&0&5/2\end{pmatrix}.
Questão 06
Enunciado
Dados \alpha,betainmathbb{R}, considere a função f:\mathbb{R}_{++}^2tomathbb{R} dada por f(x,y)=x^\alpha y^\beta. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 06
Dados \alpha,betainmathbb{R}, considere a função f:\mathbb{R}_{++}^2tomathbb{R} dada por f(x,y)=x^\alpha y^\beta. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se \alpha=1/3 e \beta=1/3, então f é côncava.
Enunciado da questão 06
Dados \alpha,betainmathbb{R}, considere a função f:\mathbb{R}_{++}^2tomathbb{R} dada por f(x,y)=x^\alpha y^\beta. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se \alpha=1/3 e \beta=2/3, então f é convexa.
Enunciado da questão 06
Dados \alpha,betainmathbb{R}, considere a função f:\mathbb{R}_{++}^2tomathbb{R} dada por f(x,y)=x^\alpha y^\beta. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se \alpha=1/3 e \beta=1, então f é convexa.
Enunciado da questão 06
Dados \alpha,betainmathbb{R}, considere a função f:\mathbb{R}_{++}^2tomathbb{R} dada por f(x,y)=x^\alpha y^\beta. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se \alpha=0 e \beta=2, então f é côncava.
Enunciado da questão 06
Dados \alpha,betainmathbb{R}, considere a função f:\mathbb{R}_{++}^2tomathbb{R} dada por f(x,y)=x^\alpha y^\beta. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se \alpha=2 e \beta=-1, então f é convexa.
Questão 07
Enunciado
Considere os seguintes operadores no plano \mathbb{R}^2: R é o operador que representa uma rotação de 45° no sentido anti-horário centrada na origem (0,0); P é o operador que representa a projeção ortogonal sobre a reta {(x,y)inmathbb{R}^2:x=0}; e T é o operador que consiste em uma rotação R como acima, seguida pela projeção P já mencionada. Denote por [R] a representação matricial canônica de R, por [P] a de P, e por [T] a de T. Então:
Enunciado da questão 07
Considere os seguintes operadores no plano \mathbb{R}^2: R é o operador que representa uma rotação de 45° no sentido anti-horário centrada na origem (0,0); P é o operador que representa a projeção ortogonal sobre a reta {(x,y)inmathbb{R}^2:x=0}; e T é o operador que consiste em uma rotação R como acima, seguida pela projeção P já mencionada. Denote por [R] a representação matricial canônica de R, por [P] a de P, e por [T] a de T. Então:
[T]=[R][P].
Enunciado da questão 07
Considere os seguintes operadores no plano \mathbb{R}^2: R é o operador que representa uma rotação de 45° no sentido anti-horário centrada na origem (0,0); P é o operador que representa a projeção ortogonal sobre a reta {(x,y)inmathbb{R}^2:x=0}; e T é o operador que consiste em uma rotação R como acima, seguida pela projeção P já mencionada. Denote por [R] a representação matricial canônica de R, por [P] a de P, e por [T] a de T. Então:
O determinante de [R] é -1.
Enunciado da questão 07
Considere os seguintes operadores no plano \mathbb{R}^2: R é o operador que representa uma rotação de 45° no sentido anti-horário centrada na origem (0,0); P é o operador que representa a projeção ortogonal sobre a reta {(x,y)inmathbb{R}^2:x=0}; e T é o operador que consiste em uma rotação R como acima, seguida pela projeção P já mencionada. Denote por [R] a representação matricial canônica de R, por [P] a de P, e por [T] a de T. Então:
Tanto o posto de [P] como o de [T] são iguais a 1.
Enunciado da questão 07
Considere os seguintes operadores no plano \mathbb{R}^2: R é o operador que representa uma rotação de 45° no sentido anti-horário centrada na origem (0,0); P é o operador que representa a projeção ortogonal sobre a reta {(x,y)inmathbb{R}^2:x=0}; e T é o operador que consiste em uma rotação R como acima, seguida pela projeção P já mencionada. Denote por [R] a representação matricial canônica de R, por [P] a de P, e por [T] a de T. Então:
Ambas [P] e [T] são idempotentes.
Enunciado da questão 07
Considere os seguintes operadores no plano \mathbb{R}^2: R é o operador que representa uma rotação de 45° no sentido anti-horário centrada na origem (0,0); P é o operador que representa a projeção ortogonal sobre a reta {(x,y)inmathbb{R}^2:x=0}; e T é o operador que consiste em uma rotação R como acima, seguida pela projeção P já mencionada. Denote por [R] a representação matricial canônica de R, por [P] a de P, e por [T] a de T. Então:
(1,-1) é um autovetor de T.
Questão 08
Enunciado
Seja f:\mathbb{R}tomathbb{R} uma função tal que f(x)=\frac{x^3-125}{x-5} se xneq 5 e f(5)=L. Determine o valor de L de modo que f seja contínua.
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Questão 09
Enunciado
Considere a equação a diferenças x_{t+2}+2x_{t+1}+4x_t=t2^t, \forall tinmathbb{N}. Avalie as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 09
Considere a equação a diferenças x_{t+2}+2x_{t+1}+4x_t=t2^t, \forall tinmathbb{N}. Avalie as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas:
Existem a,binmathbb{R} tais que a sequência \mathbf{x}=(x_t)_{tinmathbb{N}} de termo geral x_t=(at+b)2^t é uma solução desta equação.
Enunciado da questão 09
Considere a equação a diferenças x_{t+2}+2x_{t+1}+4x_t=t2^t, \forall tinmathbb{N}. Avalie as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas:
Se \mathbf{x}=(x_t)_{tinmathbb{N}} é uma solução desta equação, então existem \gamma_1,\gamma_2inmathbb{R} tais que, para todo tinmathbb{N}, x_t=\left(\gamma_1cosleft(\frac{2\pi t}{3}\right)+\gamma_2\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi t}{3}\right)+\frac{t-1}{12}\right)2^t.
Enunciado da questão 09
Considere a equação a diferenças x_{t+2}+2x_{t+1}+4x_t=t2^t, \forall tinmathbb{N}. Avalie as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas:
A equação dada tem um único estado estacionário.
Enunciado da questão 09
Considere a equação a diferenças x_{t+2}+2x_{t+1}+4x_t=t2^t, \forall tinmathbb{N}. Avalie as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas:
O conjunto de soluções desta equação a diferenças é um espaço vetorial.
Enunciado da questão 09
Considere a equação a diferenças x_{t+2}+2x_{t+1}+4x_t=t2^t, \forall tinmathbb{N}. Avalie as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas:
Existem soluções \mathbf{x}=(x_t)_{tinmathbb{N}}, \mathbf{y}=(y_t)_{tinmathbb{N}}, \mathbf{z}=(z_t)_{tinmathbb{N}} e \mathbf{w}=(w_t)_{tinmathbb{N}} da equação dada tais que a lista formada pelos vetores \mathbf{y}-\mathbf{x}, \mathbf{z}-\mathbf{x} e \mathbf{w}-\mathbf{x} é linearmente independente.
Questão 10
Enunciado
Considere o conjunto A={(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq y}. Ache o valor da integral dupla \iint_A \frac{232y}{\pi},dx,dy.
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