Afirmativa
Existem a,b\in\mathbb{R} tais que a sequência \mathbf{x}=(x_t)_{t\in\mathbb{N}} de termo geral x_t=(at+b)2^t é uma solução desta equação.
Matemática · ANPEC 2026
Questão 9, item 0
Enunciado da questão
Considere a equação a diferenças x_{t+2}+2x_{t+1}+4x_t=t2^t, \forall t\in\mathbb{N}. Avalie as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas:
Os outros itens desta questão
Resolver a questão inteira-
Item 1:
Se \mathbf{x}=(x_t)_{t\in\mathbb{N}} é uma solução desta equação, então existem \gamma_1,\gamma_2\in\mathbb{R} tais que, para todo t\in\mathbb{N}, x_t=\left(\gamma_1\cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right)+\gamma_2\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi t}{3}\right)+\frac{t-1}{12}\right)2^t.
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Item 2:
A equação dada tem um único estado estacionário.
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Item 3:
O conjunto de soluções desta equação a diferenças é um espaço vetorial.
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Item 4:
Existem soluções \mathbf{x}=(x_t)_{t\in\mathbb{N}}, \mathbf{y}=(y_t)_{t\in\mathbb{N}}, \mathbf{z}=(z_t)_{t\in\mathbb{N}} e \mathbf{w}=(w_t)_{t\in\mathbb{N}} da equação dada tais que a lista formada pelos vetores \mathbf{y}-\mathbf{x}, \mathbf{z}-\mathbf{x} e \mathbf{w}-\mathbf{x} é linearmente independente.
Substituindo x_t=(at+b)2^t na equação, obtém-se x_{t+1}=(a(t+1)+b)2^{t+1} e x_{t+2}=(a(t+2)+b)2^{t+2}. Logo, dividindo por 2^t, a esquerda fica 12at+12(a+b). …
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