ANPEC 2025 — Estatística — Questão 08 — Item 2
Enunciado da questão
Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:
Y=\beta_0+\beta_1Z+u.
Esse modelo satisfaz as seguintes condições: E[u|Z]=0 e Var[u|Z]=\sigma^2. No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação Y=\alpha_0+\alpha_1X+\varepsilon usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z: X=Z+w, onde w tem média zero e variância \sigma_w^2. Além disso, w é distribuído de maneira independente de u e de Z. Considere também que a variância populacional da variável não observada Z é igual a \sigma_Z^2. Para estimar os parâmetros do modelo, o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com n observações {(X_i,Y_i,S_i):i=1,2,\ldots,n}, onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue as afirmativas abaixo.
Defina \hat{\gamma}_1=\frac{\sum_{i=1}^n(S_i-\bar{S})Y_i}{\sum_{i=1}^n(S_i-\bar{S})X_i}, onde \bar{S}=\frac{\sum_{i=1}^n S_i}{n}. Então, \hat{\gamma}_1 é um estimador consistente para o parâmetro \beta_1.