Estatística – Anpec 2025
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Questões da prova
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Questão 01
Enunciado
Para essa questão, considere a seguinte notação: se X e Y são eventos de um espaço amostral \Omega, P(X) representa a probabilidade de ocorrência do evento X, P(X|Y) representa a probabilidade de ocorrência do evento X condicionada à ocorrência do evento Y, e barX é o complemento de X. Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas.
Enunciado da questão 01
Para essa questão, considere a seguinte notação: se X e Y são eventos de um espaço amostral \Omega, P(X) representa a probabilidade de ocorrência do evento X, P(X|Y) representa a probabilidade de ocorrência do evento X condicionada à ocorrência do evento Y, e barX é o complemento de X. Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas.
Sejam A e B eventos do espaço amostral de um experimento aleatório S. Se A e B são independentes, A e \bar B também são independentes.
Enunciado da questão 01
Para essa questão, considere a seguinte notação: se X e Y são eventos de um espaço amostral \Omega, P(X) representa a probabilidade de ocorrência do evento X, P(X|Y) representa a probabilidade de ocorrência do evento X condicionada à ocorrência do evento Y, e barX é o complemento de X. Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas.
Sejam A e B eventos independentes do espaço amostral de um experimento aleatório S, onde P(A)=1/4 e P(B)=1/3. A probabilidade de que pelo menos um desses dois eventos (A e B) ocorra é 7/12.
Enunciado da questão 01
Para essa questão, considere a seguinte notação: se X e Y são eventos de um espaço amostral \Omega, P(X) representa a probabilidade de ocorrência do evento X, P(X|Y) representa a probabilidade de ocorrência do evento X condicionada à ocorrência do evento Y, e barX é o complemento de X. Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas.
Sejam A e B dois eventos do espaço amostral de um experimento aleatório S, onde P(A)=2/3, P(B)=1/3, e P(\bar A|B)=1/4. Então: P(A|B)=P(B|A).
Enunciado da questão 01
Para essa questão, considere a seguinte notação: se X e Y são eventos de um espaço amostral \Omega, P(X) representa a probabilidade de ocorrência do evento X, P(X|Y) representa a probabilidade de ocorrência do evento X condicionada à ocorrência do evento Y, e barX é o complemento de X. Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas.
Sejam A, B e C três eventos do mesmo espaço amostral de um experimento aleatório T, onde P(A)=2/5, P(C)=1/2, P(Acup B)=3/4, P(B|A)=3/10 e P(C|A)=1/4. Então, P(\bar A|C)=4/5.
Enunciado da questão 01
Para essa questão, considere a seguinte notação: se X e Y são eventos de um espaço amostral \Omega, P(X) representa a probabilidade de ocorrência do evento X, P(X|Y) representa a probabilidade de ocorrência do evento X condicionada à ocorrência do evento Y, e barX é o complemento de X. Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas.
Sejam A, B e C três eventos do mesmo espaço amostral de um experimento aleatório T, onde P(A)=2/5, P(C)=1/2, P(Acup B)=3/4, P(B|A)=3/10 e P(C|A)=1/4. Então, P(\bar A|\bar C)=1/5.
Questão 02
Enunciado
Julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 02
Julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas:
Uma estatística é uma função de valores de uma amostra enquanto um parâmetro descreve uma característica da população.
Enunciado da questão 02
Julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas:
Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral.
Enunciado da questão 02
Julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas:
A média amostral é uma variável aleatória.
Enunciado da questão 02
Julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas:
A média amostral é uma estatística, enquanto a média populacional é um estimador.
Enunciado da questão 02
Julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas:
Para amostras de tamanho 100, de uma variável aleatória X, o desvio padrão da média amostral é igual a um centésimo do desvio padrão de X.
Questão 03
Enunciado
Sejam X e Y variáveis aleatórias com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta:
f(x,y)=\begin{cases}2(x+y-2xy), & 0\le xle 1, 0\le yle 1,\0, & caso contrário.\end{cases}
Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 03
Sejam X e Y variáveis aleatórias com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta:
f(x,y)=\begin{cases}2(x+y-2xy), & 0\le xle 1, 0\le yle 1,\0, & caso contrário.\end{cases}
Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas:
A variável aleatória X tem distribuição uniforme.
Enunciado da questão 03
Sejam X e Y variáveis aleatórias com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta:
f(x,y)=\begin{cases}2(x+y-2xy), & 0\le xle 1, 0\le yle 1,\0, & caso contrário.\end{cases}
Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Prob(1/4\le X \le 3/4)=1/3.
Enunciado da questão 03
Sejam X e Y variáveis aleatórias com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta:
f(x,y)=\begin{cases}2(x+y-2xy), & 0\le xle 1, 0\le yle 1,\0, & caso contrário.\end{cases}
Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Prob(0\le Y \le 3/4)=1/2.
Enunciado da questão 03
Sejam X e Y variáveis aleatórias com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta:
f(x,y)=\begin{cases}2(x+y-2xy), & 0\le xle 1, 0\le yle 1,\0, & caso contrário.\end{cases}
Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas:
E(X)=1/2.
Enunciado da questão 03
Sejam X e Y variáveis aleatórias com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta:
f(x,y)=\begin{cases}2(x+y-2xy), & 0\le xle 1, 0\le yle 1,\0, & caso contrário.\end{cases}
Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Var(X)=2.
Questão 04
Enunciado
Suponha que em um grupo de 10 pessoas, 4 estejam desempregadas. Obtenha a probabilidade de que em uma amostra de 4 pessoas desse grupo, 2 pessoas estejam desempregadas. Multiplique o resultado por 100 e considere a parte inteira.
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Questão 05
Enunciado
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_X e variância \sigma_X^2, onde \sigma_X^2\lt\infty. Além disso, as variáveis X_1,X_2,\ldots,X_n têm distribuição normal. Considere que \operatorname{plim} representa o limite em probabilidade, e defina \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}. Pela Lei dos Grandes Números, é correto afirmar:
Enunciado da questão 05
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_X e variância \sigma_X^2, onde \sigma_X^2\lt\infty. Além disso, as variáveis X_1,X_2,\ldots,X_n têm distribuição normal. Considere que \operatorname{plim} representa o limite em probabilidade, e defina \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}. Pela Lei dos Grandes Números, é correto afirmar:
Mesmo se as variáveis aleatórias X_1,X_2,\ldots,X_n não fossem normalmente distribuídas, teríamos plim(\bar X)=\mu_X.
Enunciado da questão 05
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_X e variância \sigma_X^2, onde \sigma_X^2\lt\infty. Além disso, as variáveis X_1,X_2,\ldots,X_n têm distribuição normal. Considere que \operatorname{plim} representa o limite em probabilidade, e defina \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}. Pela Lei dos Grandes Números, é correto afirmar:
Defina \omega=h(\mu_X), onde h(\mu_X)=a+b\mu_X, sendo a e b constantes positivas. Definindo H=a+b\bar{X} como estimador para \omega, temos \operatorname{plim}(H)=a+b\mu_X.
Enunciado da questão 05
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_X e variância \sigma_X^2, onde \sigma_X^2\lt\infty. Além disso, as variáveis X_1,X_2,\ldots,X_n têm distribuição normal. Considere que \operatorname{plim} representa o limite em probabilidade, e defina \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}. Pela Lei dos Grandes Números, é correto afirmar:
Sejam T_1,T_2,\ldots,T_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_T e variância \sigma_T^2, onde \mu_T\gt 0 e \sigma_T^2\lt\infty. Se \mu_T\gt\mu_X, então: \operatorname{plim}\left(\frac{\bar{X}}{\bar{T}}\right)=0, onde \bar{T}=\frac{\sum_{i=1}^n T_i}{n}.
Enunciado da questão 05
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_X e variância \sigma_X^2, onde \sigma_X^2\lt\infty. Além disso, as variáveis X_1,X_2,\ldots,X_n têm distribuição normal. Considere que \operatorname{plim} representa o limite em probabilidade, e defina \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}. Pela Lei dos Grandes Números, é correto afirmar:
Sejam Y_1,Y_2,\ldots,Y_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_Y e variância \sigma_Y^2, onde \sigma_Y^2\lt\infty. Então, \operatorname{plim}(\bar{X}+\bar{Y})=\mu_X+\mu_Y, onde \bar{Y}=\frac{\sum_{i=1}^n Y_i}{n}.
Enunciado da questão 05
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_X e variância \sigma_X^2, onde \sigma_X^2\lt\infty. Além disso, as variáveis X_1,X_2,\ldots,X_n têm distribuição normal. Considere que \operatorname{plim} representa o limite em probabilidade, e defina \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}. Pela Lei dos Grandes Números, é correto afirmar:
Sejam Z_1,Z_2,\ldots,Z_n variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli com parâmetro p, onde 0\lt p\lt 1. Definindo \bar{Z}=\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{n}, podemos dizer que a variância de \bar{Z} se aproxima de zero quando n\to\infty, e que \operatorname{plim}(\bar{Z})=p.
Questão 06
Enunciado
Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes X_1,X_2,\ldots,X_n seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=\begin{cases}\frac{x e^{-x/\lambda}}{\lambda^2}, & x\gt 0 \\ 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
Onde \lambda é um parâmetro desconhecido, tal que \lambda\gt 0. Definindo \bar{X} como a média amostral, ou seja, \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}, é proposto o seguinte estimador para \lambda: \hat{\lambda}=\frac{\bar{X}}{2}. Usando essas informações, são corretas as afirmativas abaixo:
Enunciado da questão 06
Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes X_1,X_2,\ldots,X_n seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=\begin{cases}\frac{x e^{-x/\lambda}}{\lambda^2}, & x\gt 0 \\ 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
Onde \lambda é um parâmetro desconhecido, tal que \lambda\gt 0. Definindo \bar{X} como a média amostral, ou seja, \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}, é proposto o seguinte estimador para \lambda: \hat{\lambda}=\frac{\bar{X}}{2}. Usando essas informações, são corretas as afirmativas abaixo:
Podemos dizer que \hat{\lambda} é um estimador não tendencioso para \lambda.
Enunciado da questão 06
Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes X_1,X_2,\ldots,X_n seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=\begin{cases}\frac{x e^{-x/\lambda}}{\lambda^2}, & x\gt 0 \\ 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
Onde \lambda é um parâmetro desconhecido, tal que \lambda\gt 0. Definindo \bar{X} como a média amostral, ou seja, \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}, é proposto o seguinte estimador para \lambda: \hat{\lambda}=\frac{\bar{X}}{2}. Usando essas informações, são corretas as afirmativas abaixo:
\operatorname{Var}(\hat{\lambda})=\frac{\lambda}{4n}.
Enunciado da questão 06
Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes X_1,X_2,\ldots,X_n seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=\begin{cases}\frac{x e^{-x/\lambda}}{\lambda^2}, & x\gt 0 \\ 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
Onde \lambda é um parâmetro desconhecido, tal que \lambda\gt 0. Definindo \bar{X} como a média amostral, ou seja, \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}, é proposto o seguinte estimador para \lambda: \hat{\lambda}=\frac{\bar{X}}{2}. Usando essas informações, são corretas as afirmativas abaixo:
\hat{\lambda} é um estimador consistente para \lambda.
Enunciado da questão 06
Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes X_1,X_2,\ldots,X_n seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=\begin{cases}\frac{x e^{-x/\lambda}}{\lambda^2}, & x\gt 0 \\ 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
Onde \lambda é um parâmetro desconhecido, tal que \lambda\gt 0. Definindo \bar{X} como a média amostral, ou seja, \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}, é proposto o seguinte estimador para \lambda: \hat{\lambda}=\frac{\bar{X}}{2}. Usando essas informações, são corretas as afirmativas abaixo:
Considere o seguinte estimador para \lambda: \tilde{\lambda}=\frac{\bar{X}}{3}. Para n=4, o Erro Quadrático Médio (EQM) de \tilde{\lambda} é menor que o EQM de \hat{\lambda}.
Enunciado da questão 06
Suponha que uma amostra aleatória de n observações independentes X_1,X_2,\ldots,X_n seja retirada de uma população com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=\begin{cases}\frac{x e^{-x/\lambda}}{\lambda^2}, & x\gt 0 \\ 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
Onde \lambda é um parâmetro desconhecido, tal que \lambda\gt 0. Definindo \bar{X} como a média amostral, ou seja, \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}, é proposto o seguinte estimador para \lambda: \hat{\lambda}=\frac{\bar{X}}{2}. Usando essas informações, são corretas as afirmativas abaixo:
Suponha que n=3, e que sejam propostos os seguintes estimadores para \lambda: \dot{\lambda}=\frac{X_1}{4}+\frac{X_2}{8}+\frac{X_3}{8} e \ddot{\lambda}=\frac{X_1}{3}+\frac{X_2}{12}+\frac{X_3}{12}. Podemos dizer que \ddot{\lambda} é eficiente em relação a \dot{\lambda} como estimador para o parâmetro \lambda.
Questão 07
Enunciado
Suponha que se deseja estimar os parâmetros \beta_0, \beta_1 e \beta_2 na equação abaixo:
Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+u_i.
Usando uma amostra aleatória da população com 23 observações, e estimando essa equação pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), são encontrados os seguintes resultados: hatbeta_1=-4 e hatbeta_2=2, em que hatbeta_1 é o estimador de MQO para o parâmetro \beta_1, e hatbeta_2 é o estimador de MQO para o parâmetro \beta_2. Para essa mesma amostra, sabe-se também que: \bar Y=25, \bar X_1=4, e \bar X_2=2, onde \bar Y=\frac{\sum_{i=1}^{23}Y_i}{23}, \bar X_1=\frac{\sum_{i=1}^{23}X_{1i}}{23}, e \bar X_2=\frac{\sum_{i=1}^{23}X_{2i}}{23}. Obtenha o resultado encontrado para hatbeta_0 nessa mesma regressão por MQO, em que hatbeta_0 é o estimador de MQO para \beta_0.
Informe um número de 00 a 99
Conferência local. Entre ou desbloqueie o acesso para salvar seu desempenho.
Questão 08
Enunciado
Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:
Y=\beta_0+\beta_1Z+u.
Esse modelo satisfaz as seguintes condições: E[u|Z]=0 e Var[u|Z]=\sigma^2. No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação Y=\alpha_0+\alpha_1X+\varepsilon usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z: X=Z+w, onde w tem média zero e variância \sigma_w^2. Além disso, w é distribuído de maneira independente de u e de Z. Considere também que a variância populacional da variável não observada Z é igual a \sigma_Z^2. Para estimar os parâmetros do modelo, o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com n observações {(X_i,Y_i,S_i):i=1,2,\ldots,n}, onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue as afirmativas abaixo.
Enunciado da questão 08
Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:
Y=\beta_0+\beta_1Z+u.
Esse modelo satisfaz as seguintes condições: E[u|Z]=0 e Var[u|Z]=\sigma^2. No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação Y=\alpha_0+\alpha_1X+\varepsilon usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z: X=Z+w, onde w tem média zero e variância \sigma_w^2. Além disso, w é distribuído de maneira independente de u e de Z. Considere também que a variância populacional da variável não observada Z é igual a \sigma_Z^2. Para estimar os parâmetros do modelo, o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com n observações {(X_i,Y_i,S_i):i=1,2,\ldots,n}, onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue as afirmativas abaixo.
Sendo \hat{\alpha}_1 o estimador de MQO para \alpha_1, então o limite em probabilidade de \hat{\alpha}_1 é dado por: \operatorname{plim}\hat{\alpha}_1=\beta_1-\frac{\beta_1\sigma_w^2}{\sigma_Z^2+\sigma_w^2}.
Enunciado da questão 08
Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:
Y=\beta_0+\beta_1Z+u.
Esse modelo satisfaz as seguintes condições: E[u|Z]=0 e Var[u|Z]=\sigma^2. No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação Y=\alpha_0+\alpha_1X+\varepsilon usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z: X=Z+w, onde w tem média zero e variância \sigma_w^2. Além disso, w é distribuído de maneira independente de u e de Z. Considere também que a variância populacional da variável não observada Z é igual a \sigma_Z^2. Para estimar os parâmetros do modelo, o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com n observações {(X_i,Y_i,S_i):i=1,2,\ldots,n}, onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue as afirmativas abaixo.
O estimador de MQO para \alpha_1 apresenta um viés de atenuação em relação ao parâmetro \beta_1. Para um valor fixo de \sigma_w^2, esse viés de atenuação aumenta à medida que \sigma_Z^2 aumenta.
Enunciado da questão 08
Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:
Y=\beta_0+\beta_1Z+u.
Esse modelo satisfaz as seguintes condições: E[u|Z]=0 e Var[u|Z]=\sigma^2. No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação Y=\alpha_0+\alpha_1X+\varepsilon usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z: X=Z+w, onde w tem média zero e variância \sigma_w^2. Além disso, w é distribuído de maneira independente de u e de Z. Considere também que a variância populacional da variável não observada Z é igual a \sigma_Z^2. Para estimar os parâmetros do modelo, o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com n observações {(X_i,Y_i,S_i):i=1,2,\ldots,n}, onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue as afirmativas abaixo.
Defina \hat{\gamma}_1=\frac{\sum_{i=1}^n(S_i-\bar{S})Y_i}{\sum_{i=1}^n(S_i-\bar{S})X_i}, onde \bar{S}=\frac{\sum_{i=1}^n S_i}{n}. Então, \hat{\gamma}_1 é um estimador consistente para o parâmetro \beta_1.
Enunciado da questão 08
Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:
Y=\beta_0+\beta_1Z+u.
Esse modelo satisfaz as seguintes condições: E[u|Z]=0 e Var[u|Z]=\sigma^2. No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação Y=\alpha_0+\alpha_1X+\varepsilon usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z: X=Z+w, onde w tem média zero e variância \sigma_w^2. Além disso, w é distribuído de maneira independente de u e de Z. Considere também que a variância populacional da variável não observada Z é igual a \sigma_Z^2. Para estimar os parâmetros do modelo, o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com n observações {(X_i,Y_i,S_i):i=1,2,\ldots,n}, onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue as afirmativas abaixo.
Definindo \hat{\alpha}_0 como o estimador de MQO para \alpha_0, podemos dizer que o limite em probabilidade de \hat{\alpha}_0 é dado por: \operatorname{plim}\hat{\alpha}_0=\beta_0+\beta_1\left(\frac{\sigma_w^2}{\sigma_Z^2+\sigma_w^2}\right)\bar{X}, onde \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}.
Enunciado da questão 08
Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:
Y=\beta_0+\beta_1Z+u.
Esse modelo satisfaz as seguintes condições: E[u|Z]=0 e Var[u|Z]=\sigma^2. No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação Y=\alpha_0+\alpha_1X+\varepsilon usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z: X=Z+w, onde w tem média zero e variância \sigma_w^2. Além disso, w é distribuído de maneira independente de u e de Z. Considere também que a variância populacional da variável não observada Z é igual a \sigma_Z^2. Para estimar os parâmetros do modelo, o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com n observações {(X_i,Y_i,S_i):i=1,2,\ldots,n}, onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue as afirmativas abaixo.
Suponha que o pesquisador tenha acesso a uma amostra aleatória da população com n observações \{(T_i,Y_i):i=1,2,\ldots,n\}, e que a variável T seja tal que T=Z+v. Suponha que v tenha média \mu_v\gt 0 e variância \sigma_v^2, e que v seja distribuído de maneira independente de u e de Z. Sendo \hat{\delta}_1 o estimador de MQO para \delta_1 na equação Y=\delta_0+\delta_1T+\varphi, temos: \operatorname{plim}\hat{\delta}_1=\beta_1-\frac{\beta_1\sigma_v^2}{\sigma_Z^2+\sigma_v^2}.
Questão 09
Enunciado
Julgue as afirmativas abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+u, com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.
Enunciado da questão 09
Julgue as afirmativas abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+u, com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.
A hipótese de que V(u|X)=\sigma^2 não é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários sejam consistentes.
Enunciado da questão 09
Julgue as afirmativas abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+u, com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.
A omissão da variável explicativa relevante para explicar a variável dependente torna a estimativa dos parâmetros (\beta_1,\ldots,\beta_k) tendenciosa e inconsistente, se e somente se, a variável omitida for correlacionada com a respectiva variável explicativa (x_1,\ldots,x_k) incluída no modelo.
Enunciado da questão 09
Julgue as afirmativas abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+u, com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.
Se o termo de erro for perfeitamente correlacionado com a variável explicativa é impossível obter o estimador de MQO.
Enunciado da questão 09
Julgue as afirmativas abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+u, com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.
A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores ineficientes.
Enunciado da questão 09
Julgue as afirmativas abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+u, com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.
Os estimadores de mínimos quadrados ordinários e de máxima verossimilhança coincidem quando os erros são independentes e identicamente distribuídos.
Questão 10
Enunciado
Considere os dois modelos de séries de tempo abaixo.
(I) Y_t=\alpha Y_{t-1}+u_t+\beta u_{t-1}, onde 0\lt\alpha\lt 1, Y_0 é um valor inicial não-aleatório para Y, e u_t é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz \operatorname{E}(u_t)=0 e \operatorname{E}(u_t^2)=\sigma^2\gt 0 para todo t, e \operatorname{E}(u_tu_s)=0 para t\neq s.
(II) Z_t=c+Z_{t-1}+\theta t+\varepsilon_t, onde c é uma constante, Z_0 é um valor inicial não-aleatório para Z, \theta\gt 0, e \varepsilon_t é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz \operatorname{E}(\varepsilon_t)=0, \operatorname{E}(\varepsilon_t^2)=\sigma^2\gt 0 para todo t, e \operatorname{E}(\varepsilon_t\varepsilon_s)=0 para t\neq s. Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas abaixo referentes a esses dois modelos:
Enunciado da questão 10
Considere os dois modelos de séries de tempo abaixo.
(I) Y_t=\alpha Y_{t-1}+u_t+\beta u_{t-1}, onde 0\lt\alpha\lt 1, Y_0 é um valor inicial não-aleatório para Y, e u_t é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz \operatorname{E}(u_t)=0 e \operatorname{E}(u_t^2)=\sigma^2\gt 0 para todo t, e \operatorname{E}(u_tu_s)=0 para t\neq s.
(II) Z_t=c+Z_{t-1}+\theta t+\varepsilon_t, onde c é uma constante, Z_0 é um valor inicial não-aleatório para Z, \theta\gt 0, e \varepsilon_t é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz \operatorname{E}(\varepsilon_t)=0, \operatorname{E}(\varepsilon_t^2)=\sigma^2\gt 0 para todo t, e \operatorname{E}(\varepsilon_t\varepsilon_s)=0 para t\neq s. Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas abaixo referentes a esses dois modelos:
Em relação ao modelo (I), podemos escrever: \gamma_0=\alpha\gamma_1+\sigma^2+\beta(\alpha+\beta)\sigma^2, onde \gamma_0=\operatorname{E}(Y_t^2) e \gamma_1=\operatorname{E}(Y_tY_{t+1}).
Enunciado da questão 10
Considere os dois modelos de séries de tempo abaixo.
(I) Y_t=\alpha Y_{t-1}+u_t+\beta u_{t-1}, onde 0\lt\alpha\lt 1, Y_0 é um valor inicial não-aleatório para Y, e u_t é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz \operatorname{E}(u_t)=0 e \operatorname{E}(u_t^2)=\sigma^2\gt 0 para todo t, e \operatorname{E}(u_tu_s)=0 para t\neq s.
(II) Z_t=c+Z_{t-1}+\theta t+\varepsilon_t, onde c é uma constante, Z_0 é um valor inicial não-aleatório para Z, \theta\gt 0, e \varepsilon_t é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz \operatorname{E}(\varepsilon_t)=0, \operatorname{E}(\varepsilon_t^2)=\sigma^2\gt 0 para todo t, e \operatorname{E}(\varepsilon_t\varepsilon_s)=0 para t\neq s. Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas abaixo referentes a esses dois modelos:
Em relação ao modelo (I), podemos escrever: \gamma_1=\alpha(\gamma_0+\sigma^2)+\beta\sigma^2, onde \gamma_0=\operatorname{E}(Y_t^2) e \gamma_1=\operatorname{E}(Y_tY_{t+1}).
Enunciado da questão 10
Considere os dois modelos de séries de tempo abaixo.
(I) Y_t=\alpha Y_{t-1}+u_t+\beta u_{t-1}, onde 0\lt\alpha\lt 1, Y_0 é um valor inicial não-aleatório para Y, e u_t é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz \operatorname{E}(u_t)=0 e \operatorname{E}(u_t^2)=\sigma^2\gt 0 para todo t, e \operatorname{E}(u_tu_s)=0 para t\neq s.
(II) Z_t=c+Z_{t-1}+\theta t+\varepsilon_t, onde c é uma constante, Z_0 é um valor inicial não-aleatório para Z, \theta\gt 0, e \varepsilon_t é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz \operatorname{E}(\varepsilon_t)=0, \operatorname{E}(\varepsilon_t^2)=\sigma^2\gt 0 para todo t, e \operatorname{E}(\varepsilon_t\varepsilon_s)=0 para t\neq s. Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas abaixo referentes a esses dois modelos:
Sendo \rho_h=\frac{\gamma_h}{\gamma_0}, onde \gamma_h=\operatorname{E}(Y_tY_{t+h}), temos o seguinte resultado para o modelo (I): \rho_h=\frac{(\beta+\alpha)(1+\alpha\beta)}{1+2\alpha\beta+\beta^2}.
Enunciado da questão 10
Considere os dois modelos de séries de tempo abaixo.
(I) Y_t=\alpha Y_{t-1}+u_t+\beta u_{t-1}, onde 0\lt\alpha\lt 1, Y_0 é um valor inicial não-aleatório para Y, e u_t é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz \operatorname{E}(u_t)=0 e \operatorname{E}(u_t^2)=\sigma^2\gt 0 para todo t, e \operatorname{E}(u_tu_s)=0 para t\neq s.
(II) Z_t=c+Z_{t-1}+\theta t+\varepsilon_t, onde c é uma constante, Z_0 é um valor inicial não-aleatório para Z, \theta\gt 0, e \varepsilon_t é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz \operatorname{E}(\varepsilon_t)=0, \operatorname{E}(\varepsilon_t^2)=\sigma^2\gt 0 para todo t, e \operatorname{E}(\varepsilon_t\varepsilon_s)=0 para t\neq s. Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas abaixo referentes a esses dois modelos:
O modelo (II) pode ser representado por: Z_t=ct+\left(\frac{\theta}{2}\right)t^2+Z_0+\sum_{j=1}^t\varepsilon_j.
Enunciado da questão 10
Considere os dois modelos de séries de tempo abaixo.
(I) Y_t=\alpha Y_{t-1}+u_t+\beta u_{t-1}, onde 0\lt\alpha\lt 1, Y_0 é um valor inicial não-aleatório para Y, e u_t é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz \operatorname{E}(u_t)=0 e \operatorname{E}(u_t^2)=\sigma^2\gt 0 para todo t, e \operatorname{E}(u_tu_s)=0 para t\neq s.
(II) Z_t=c+Z_{t-1}+\theta t+\varepsilon_t, onde c é uma constante, Z_0 é um valor inicial não-aleatório para Z, \theta\gt 0, e \varepsilon_t é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz \operatorname{E}(\varepsilon_t)=0, \operatorname{E}(\varepsilon_t^2)=\sigma^2\gt 0 para todo t, e \operatorname{E}(\varepsilon_t\varepsilon_s)=0 para t\neq s. Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas abaixo referentes a esses dois modelos:
Em relação ao modelo (II), a variância de Z_t é igual a: Var(Z_t)=(c+\theta t)\sigma^2.