Estatística · ANPEC 2025
Lei dos grandes números e convergência em probabilidade
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_X e variância \sigma_X^2, onde \sigma_X^2\lt\infty. Além disso, as variáveis X_1,X_2,\ldots,X_n têm distribuição normal. Considere que \operatorname{plim} representa o limite em probabilidade, e defina \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}. Pela Lei dos Grandes Números, é correto afirmar:
Sejam Z_1,Z_2,\ldots,Z_n variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli com parâmetro p, onde 0\lt p\lt 1. Definindo \bar{Z}=\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{n}, podemos dizer que a variância de \bar{Z} se aproxima de zero quando n\to\infty, e que \operatorname{plim}(\bar{Z})=p.
Mesmo se as variáveis aleatórias X_1,X_2,\ldots,X_n não fossem normalmente distribuídas, teríamos plim(\bar X)=\mu_X.
Defina \omega=h(\mu_X), onde h(\mu_X)=a+b\mu_X, sendo a e b constantes positivas. Definindo H=a+b\bar{X} como estimador para \omega, temos \operatorname{plim}(H)=a+b\mu_X.
Sejam T_1,T_2,\ldots,T_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_T e variância \sigma_T^2, onde \mu_T\gt 0 e \sigma_T^2\lt\infty. Se \mu_T\gt\mu_X, então: \operatorname{plim}\left(\frac{\bar{X}}{\bar{T}}\right)=0, onde \bar{T}=\frac{\sum_{i=1}^n T_i}{n}.
Sejam Y_1,Y_2,\ldots,Y_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_Y e variância \sigma_Y^2, onde \sigma_Y^2\lt\infty. Então, \operatorname{plim}(\bar{X}+\bar{Y})=\mu_X+\mu_Y, onde \bar{Y}=\frac{\sum_{i=1}^n Y_i}{n}.
As duas conclusões do item saem direto das propriedades da Bernoulli, sem precisar de nenhuma hipótese extra. Se Z_1,\ldots,Z_n são independentes e todas Bernoulli com o mesmo parâmetro p, então E(Z_i)=p e \operatorname{Var}(Z_i)=p(1-p). …
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