ANPEC 2025 — Estatística – Anpec 2025 — Questão 08
Enunciado da questão
Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:
Y=\beta_0+\beta_1Z+u.
Esse modelo satisfaz as seguintes condições: E[u|Z]=0 e Var[u|Z]=\sigma^2. No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação Y=\alpha_0+\alpha_1X+\varepsilon usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z: X=Z+w, onde w tem média zero e variância \sigma_w^2. Além disso, w é distribuído de maneira independente de u e de Z. Considere também que a variância populacional da variável não observada Z é igual a \sigma_Z^2. Para estimar os parâmetros do modelo, o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com n observações {(X_i,Y_i,S_i):i=1,2,\ldots,n}, onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue as afirmativas abaixo.
Analise a afirmativa
Sendo \hat{\alpha}_1 o estimador de MQO para \alpha_1, então o limite em probabilidade de \hat{\alpha}_1 é dado por: \operatorname{plim}\hat{\alpha}_1=\beta_1-\frac{\beta_1\sigma_w^2}{\sigma_Z^2+\sigma_w^2}.
Analise a afirmativa
O estimador de MQO para \alpha_1 apresenta um viés de atenuação em relação ao parâmetro \beta_1. Para um valor fixo de \sigma_w^2, esse viés de atenuação aumenta à medida que \sigma_Z^2 aumenta.
Analise a afirmativa
Defina \hat{\gamma}_1=\frac{\sum_{i=1}^n(S_i-\bar{S})Y_i}{\sum_{i=1}^n(S_i-\bar{S})X_i}, onde \bar{S}=\frac{\sum_{i=1}^n S_i}{n}. Então, \hat{\gamma}_1 é um estimador consistente para o parâmetro \beta_1.
Analise a afirmativa
Definindo \hat{\alpha}_0 como o estimador de MQO para \alpha_0, podemos dizer que o limite em probabilidade de \hat{\alpha}_0 é dado por: \operatorname{plim}\hat{\alpha}_0=\beta_0+\beta_1\left(\frac{\sigma_w^2}{\sigma_Z^2+\sigma_w^2}\right)\bar{X}, onde \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}.
Analise a afirmativa
Suponha que o pesquisador tenha acesso a uma amostra aleatória da população com n observações \{(T_i,Y_i):i=1,2,\ldots,n\}, e que a variável T seja tal que T=Z+v. Suponha que v tenha média \mu_v\gt 0 e variância \sigma_v^2, e que v seja distribuído de maneira independente de u e de Z. Sendo \hat{\delta}_1 o estimador de MQO para \delta_1 na equação Y=\delta_0+\delta_1T+\varphi, temos: \operatorname{plim}\hat{\delta}_1=\beta_1-\frac{\beta_1\sigma_v^2}{\sigma_Z^2+\sigma_v^2}.