ANPEC 2024 — Matemática – Anpec 2024 — Questão 02
Enunciado da questão
Sejam os números ainmathbb{R} e binmathbb{R} parâmetros do problema de maximizar a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=-x_1^4+x_1^2-\frac{x_2^2}{2}+2x_2 sujeito às restrições ax_1+x_2=b, x_1\geq 0 e x_2\geq 0. Chamamos esse problema de P. Julgue as afirmativas abaixo de acordo com a sua veracidade:
Analise a afirmativa
A matriz Hessiana da função f em qualquer ponto xinmathbb{R}^2 é negativa definida.
Analise a afirmativa
Quaisquer que sejam os valores de a e b, se o gradiente \nabla f(x_1^*,x_2^*)=(0,0), então (x_1^*,x_2^*) resolve o problema P.
Analise a afirmativa
Quando a=b=0, o problema P não tem solução.
Analise a afirmativa
Quando a>0 e b=0, qualquer solução (x_1^*,x_2^*) do problema P satisfaz x_2^*=2x_1^*.
Analise a afirmativa
Quando a=b=1, em qualquer solução (x_1^*,x_2^*) do problema P, o gradiente satisfaz \nabla f(x_1^*,x_2^*)\neq (0,0).