Matemática – Anpec 2024
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Questões da prova
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Questão 01
Enunciado
Sejam A={0,1,2,3,4,5}, B={2,0,2,4} e C={e,\pi}. Então, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 01
Sejam A={0,1,2,3,4,5}, B={2,0,2,4} e C={e,\pi}. Então, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Bin Acup C.
Enunciado da questão 01
Sejam A={0,1,2,3,4,5}, B={2,0,2,4} e C={e,\pi}. Então, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Existe função injetora de Bcup C para A, mas não de A para Bcup C.
Enunciado da questão 01
Sejam A={0,1,2,3,4,5}, B={2,0,2,4} e C={e,\pi}. Então, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Acap (Bcup C)={{0},{2},{4}}.
Enunciado da questão 01
Sejam A={0,1,2,3,4,5}, B={2,0,2,4} e C={e,\pi}. Então, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Não existe o conjunto ((Acap B)\cap C)\times C.
Enunciado da questão 01
Sejam A={0,1,2,3,4,5}, B={2,0,2,4} e C={e,\pi}. Então, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
(3,0)\in A\times B, mas (3,2)\notin A\times B.
Questão 02
Enunciado
Sejam os números ainmathbb{R} e binmathbb{R} parâmetros do problema de maximizar a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=-x_1^4+x_1^2-\frac{x_2^2}{2}+2x_2 sujeito às restrições ax_1+x_2=b, x_1\geq 0 e x_2\geq 0. Chamamos esse problema de P. Julgue as afirmativas abaixo de acordo com a sua veracidade:
Enunciado da questão 02
Sejam os números ainmathbb{R} e binmathbb{R} parâmetros do problema de maximizar a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=-x_1^4+x_1^2-\frac{x_2^2}{2}+2x_2 sujeito às restrições ax_1+x_2=b, x_1\geq 0 e x_2\geq 0. Chamamos esse problema de P. Julgue as afirmativas abaixo de acordo com a sua veracidade:
A matriz Hessiana da função f em qualquer ponto xinmathbb{R}^2 é negativa definida.
Enunciado da questão 02
Sejam os números ainmathbb{R} e binmathbb{R} parâmetros do problema de maximizar a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=-x_1^4+x_1^2-\frac{x_2^2}{2}+2x_2 sujeito às restrições ax_1+x_2=b, x_1\geq 0 e x_2\geq 0. Chamamos esse problema de P. Julgue as afirmativas abaixo de acordo com a sua veracidade:
Quaisquer que sejam os valores de a e b, se o gradiente \nabla f(x_1^*,x_2^*)=(0,0), então (x_1^*,x_2^*) resolve o problema P.
Enunciado da questão 02
Sejam os números ainmathbb{R} e binmathbb{R} parâmetros do problema de maximizar a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=-x_1^4+x_1^2-\frac{x_2^2}{2}+2x_2 sujeito às restrições ax_1+x_2=b, x_1\geq 0 e x_2\geq 0. Chamamos esse problema de P. Julgue as afirmativas abaixo de acordo com a sua veracidade:
Quando a=b=0, o problema P não tem solução.
Enunciado da questão 02
Sejam os números ainmathbb{R} e binmathbb{R} parâmetros do problema de maximizar a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=-x_1^4+x_1^2-\frac{x_2^2}{2}+2x_2 sujeito às restrições ax_1+x_2=b, x_1\geq 0 e x_2\geq 0. Chamamos esse problema de P. Julgue as afirmativas abaixo de acordo com a sua veracidade:
Quando a>0 e b=0, qualquer solução (x_1^*,x_2^*) do problema P satisfaz x_2^*=2x_1^*.
Enunciado da questão 02
Sejam os números ainmathbb{R} e binmathbb{R} parâmetros do problema de maximizar a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=-x_1^4+x_1^2-\frac{x_2^2}{2}+2x_2 sujeito às restrições ax_1+x_2=b, x_1\geq 0 e x_2\geq 0. Chamamos esse problema de P. Julgue as afirmativas abaixo de acordo com a sua veracidade:
Quando a=b=1, em qualquer solução (x_1^*,x_2^*) do problema P, o gradiente satisfaz \nabla f(x_1^*,x_2^*)\neq (0,0).
Questão 03
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Dada a equação diferencial ordinária (EDO) \ddot{x}-6\dot{x}+9x=0, as funções x_1(t)=-e^{3t} e x_2(t)=2te^{3t} são soluções particulares desta EDO e sua solução geral é dada por x(t)=c_1e^{3t}+c_2te^{3t}, onde c_1,c_2\in\mathbb{R}.
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Uma solução particular y:\mathbb{R}\to\mathbb{R} para a EDO \ddot{x}-4\dot{x}+4x=-\cos(2t) é do tipo y(t)=a\cos(2t), onde a\in\mathbb{R} é uma constante a ser determinada.
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
As funções x_1(t)=\cos(t) e x_2(t)=-2\operatorname{sen}(t+\pi/2) são soluções particulares para a EDO dada por \ddot{x}+x=0 e sua solução geral x:\mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfaz x(t)=c_1\cos(t)+c_2\operatorname{sen}(t+\pi/2), onde c_1,c_2\in\mathbb{R}.
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
O sistema de EDOs \begin{cases}\dot{x}=x+y \\ \dot{y}=x-y\end{cases} tem um único ponto de equilíbrio dado por (0,0) e, para todo par de soluções (x,y), onde x,y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, vale que \lim_{t\to+\infty}(x(t),y(t))=(0,0).
Enunciado da questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Dada a equação em diferenças x_{t+2}-x_{t+1}+x_t=0, a única solução tal que existe o limite \lim_{t\to+\infty}x_t satisfaz x_t=0, para todo t\geq 0.
Questão 04
Enunciado
Fixado um número real \alpha\in(0,1), defina a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de maneira que f(x)=0 para x\leq 0 e f(x)=\alpha x-x^\alpha para x\gt 0. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 04
Fixado um número real \alpha\in(0,1), defina a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de maneira que f(x)=0 para x\leq 0 e f(x)=\alpha x-x^\alpha para x\gt 0. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A função f não é derivável no ponto x=0, mas existe o \lim_{xto 0}f(x), sendo que este é igual a zero.
Enunciado da questão 04
Fixado um número real \alpha\in(0,1), defina a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de maneira que f(x)=0 para x\leq 0 e f(x)=\alpha x-x^\alpha para x\gt 0. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Quando x_1\lt x_2\lt 1, teremos f(x_1)\lt f(x_2), enquanto que, quando se tem a desigualdade x_4\gt x_3\gt 1, vale que f(x_3)\gt f(x_4).
Enunciado da questão 04
Fixado um número real \alpha\in(0,1), defina a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de maneira que f(x)=0 para x\leq 0 e f(x)=\alpha x-x^\alpha para x\gt 0. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A desigualdade f''(x)\gt 0 vale para todo x\gt 0.
Enunciado da questão 04
Fixado um número real \alpha\in(0,1), defina a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de maneira que f(x)=0 para x\leq 0 e f(x)=\alpha x-x^\alpha para x\gt 0. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Quando \alpha=\frac{1}{2}, o problema de minimizar f(x) em x\in\mathbb{R} não admite solução, enquanto que o problema de maximizar f(x) em x\in\mathbb{R} tem x=1 como única solução.
Enunciado da questão 04
Fixado um número real \alpha\in(0,1), defina a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de maneira que f(x)=0 para x\leq 0 e f(x)=\alpha x-x^\alpha para x\gt 0. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A integral \int_0^{+\infty} f(x),dx não converge.
Questão 05
Enunciado
Dada uma matriz real quadrada A qualquer, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 05
Dada uma matriz real quadrada A qualquer, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A ser inversível implica que A^{2024} também é inversível.
Enunciado da questão 05
Dada uma matriz real quadrada A qualquer, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A ser simétrica implica que A^{2024} também é simétrica.
Enunciado da questão 05
Dada uma matriz real quadrada A qualquer, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A ser triangular superior implica que A^{2024} também é triangular superior.
Enunciado da questão 05
Dada uma matriz real quadrada A qualquer, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A ser diagonalizável implica que A^{2024} também é diagonalizável.
Enunciado da questão 05
Dada uma matriz real quadrada A qualquer, julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A ser negativa semidefinida implica que A^{2024} também é negativa semidefinida.
Questão 06
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 06
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A equação 2y-\frac{y^2}{2}+x^2-x-\frac{3}{2}=0 define implicitamente y como função de x, denotada por y=f(x), em uma vizinhança do ponto (x_0,y_0)=(0,1), valendo que f^\prime(0)=1.
Enunciado da questão 06
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função continuamente diferenciável e sua derivada f':\mathbb{R}\to\mathbb{R} é tal que f'(-x)=-f'(x) para todo x\in\mathbb{R}, então f(1)=f(-1).
Enunciado da questão 06
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
O valor de a\in\mathbb{R} que minimiza \int_0^a x^2\,dx é a=0.
Enunciado da questão 06
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\int_0^1 x^5 e^{x^2},dx=\frac{e-2}{4}.
Enunciado da questão 06
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\int_{-1}^{2}\left(\int_0^1 |x-y|\,dx\right)\,dy=0.
Questão 07
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
No \mathbb{R}^3, o plano que passa pelo ponto (2,1,2) e que é paralelo ao plano \{x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:x_1-2x_2+6x_3=1\} é o conjunto \{(12+2t-6s,t,s):t,s\in\mathbb{R}\}.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Sejam os planos no \mathbb{R}^3 dados por \pi_1=\{x\in\mathbb{R}^3:x_1+x_2-3x_3=0\}, \pi_2=\{x\in\mathbb{R}^3:2x_1-x_2+x_3=0\}, \pi_3=\{x\in\mathbb{R}^3:3x_1-2x_3=0\} e \pi_4=\{x\in\mathbb{R}^3:7x_1-2x_2=0\}. Então \pi_1\cap\pi_2=\pi_3\cap\pi_4.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Sejam os vetores x, y e z no \mathbb{R}^3 expressos por x=(4,3,-1), y=(3,-2,12) e z=(7,3,3). Se V denota o subespaço do \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores x e y, então z\in V.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se d(x,y) é a distância euclidiana entre x,y\in\mathbb{R}^2 e o=(0,0)\in\mathbb{R}^2 é a origem, então d(x,o)+d(y,o)\geq d(x,y), para todo x,y\in\mathbb{R}^2.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Seguindo a mesma notação do item anterior, não existem vetores não nulos x,y\in\mathbb{R}^2\setminus\{o\} tais que d(x,y)=d(x+y,o).
Questão 08
Enunciado
Avalie a veracidade das afirmações abaixo:
Enunciado da questão 08
Avalie a veracidade das afirmações abaixo:
A série \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{10\sqrt{n}+2} é convergente.
Enunciado da questão 08
Avalie a veracidade das afirmações abaixo:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1012}{n+1012}\right)^{-n}=e^{2024}.
Enunciado da questão 08
Avalie a veracidade das afirmações abaixo:
A série \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\min\{n,n^2\}} é convergente.
Enunciado da questão 08
Avalie a veracidade das afirmações abaixo:
\lim_{n\to\infty} n\operatorname{sen}\left(\frac{2024}{n}\right)=2024.
Enunciado da questão 08
Avalie a veracidade das afirmações abaixo:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2024}}{(1+10^{-2024})^n}=0.
Questão 09
Enunciado
Encontre o valor máximo da função f(x,y)=\frac{8x^2+20y^2-48x-200y+620}{(x^2-6x+10)(y^2-10y+27)} sobre o seu domínio.
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Questão 10
Enunciado
Seja M_{10} o espaço vetorial das matrizes reais quadradas A=(a_{ij}) de ordem 10. Considere o subespaço vetorial das matrizes simétricas de ordem 10, definido como V={Ain M_{10}:A=A^t} onde A^t denota a matriz transposta de A. Ache o valor da dimensão de V.
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