Questão de prova ANPEC

ANPEC 2024 — Matemática – Anpec 2024 — Questão 04

Exame: ANPEC 2024 Prova: Matemática – Anpec 2024 Questão 04 5 itens V/F
Matérias
Matemática
Assuntos
Limites e continuidade Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão Derivadas e funções deriváveis Otimização condicionada com restrições de desigualdade Integrais impróprias

Enunciado da questão

Fixado um número real \alpha\in(0,1), defina a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de maneira que f(x)=0 para x\leq 0 e f(x)=\alpha x-x^\alpha para x\gt 0. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:

Item 0

Analise a afirmativa

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Matemática Limites e continuidade

A função f não é derivável no ponto x=0, mas existe o \lim_{xto 0}f(x), sendo que este é igual a zero.

Item 1

Analise a afirmativa

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Matemática Monotonicidade, concavidade e ponto de inflexão

Quando x_1\lt x_2\lt 1, teremos f(x_1)\lt f(x_2), enquanto que, quando se tem a desigualdade x_4\gt x_3\gt 1, vale que f(x_3)\gt f(x_4).

Item 2

Analise a afirmativa

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Matemática Derivadas e funções deriváveis

A desigualdade f''(x)\gt 0 vale para todo x\gt 0.

Item 3

Analise a afirmativa

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Matemática Otimização condicionada com restrições de desigualdade

Quando \alpha=\frac{1}{2}, o problema de minimizar f(x) em x\in\mathbb{R} não admite solução, enquanto que o problema de maximizar f(x) em x\in\mathbb{R} tem x=1 como única solução.

Item 4

Analise a afirmativa

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Matemática Integrais impróprias

A integral \int_0^{+\infty} f(x),dx não converge.