ANPEC 2024 — Matemática – Anpec 2024 — Questão 03

Dada a equação diferencial ordinária (EDO) \ddot{x}-6\dot{x}+9x=0, as funções x_1(t)=-e^{3t} e x_2(t)=2te^{3t} são soluções particulares desta EDO e sua solução geral é dada por x(t)=c_1e^{3t}+c_2te^{3t}, onde c_1,c_2\in\mathbb{R}.

Uma solução particular y:\mathbb{R}\to\mathbb{R} para a EDO \ddot{x}-4\dot{x}+4x=-\cos(2t) é do tipo y(t)=a\cos(2t), onde a\in\mathbb{R} é uma constante a ser determinada.

As funções x_1(t)=\cos(t) e x_2(t)=-2\operatorname{sen}(t+\pi/2) são soluções particulares para a EDO dada por \ddot{x}+x=0 e sua solução geral x:\mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfaz x(t)=c_1\cos(t)+c_2\operatorname{sen}(t+\pi/2), onde c_1,c_2\in\mathbb{R}.

O sistema de EDOs \begin{cases}\dot{x}=x+y \\ \dot{y}=x-y\end{cases} tem um único ponto de equilíbrio dado por (0,0) e, para todo par de soluções (x,y), onde x,y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, vale que \lim_{t\to+\infty}(x(t),y(t))=(0,0).

Dada a equação em diferenças x_{t+2}-x_{t+1}+x_t=0, a única solução tal que existe o limite \lim_{t\to+\infty}x_t satisfaz x_t=0, para todo t\geq 0.