ANPEC 2021 — Matemática – Anpec 2021 — Questão 09
Enunciado da questão
Seja a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=e^{100x_1-5x_1^2+40x_2-5x_2^2+3}. Se D((x_1,x_2),(5,2)) denota a distância euclidiana do ponto (x_1,x_2) ao ponto (5,2), e \alpha\in\mathbb{R} é um parâmetro, considere o problema de maximizar f(x) sujeito a D((x_1,x_2),(5,2))\leq \alpha. Julgue:
Analise a afirmativa
Os pontos que satisfazem a restrição do problema formam um conjunto convexo apenas quando 0\leq \alpha\leq 1.
Analise a afirmativa
Se para \beta_1 e \beta_2 a desigualdade f(x_1,x_2)\geq f(y_1,y_2) equivale a -(x_1-\beta_1)^2-(x_2-\beta_2)^2\geq-(y_1-\beta_1)^2-(y_2-\beta_2)^2, então \beta_1 e \beta_2 são múltiplos de 5.
Analise a afirmativa
Para todo \alpha\geq 0, o ponto que maximiza a função f de forma incondicional em \mathbb{R}^2 não satisfaz a restrição do problema.
Analise a afirmativa
Quando \alpha=\sqrt{29}, na solução x^* para o problema de maximização, o gradiente \nabla f(x^*) é diferente de (0,0).
Analise a afirmativa
A função g sobre \mathbb{R}^2 definida por g(x_1,x_2)=\ln f(x_1,x_2) é côncava.