ANPEC 2021 — Matemática – Anpec 2021 — Questão 08
Enunciado da questão
Para N\geq 1, denote por \mathbb{R}_{++}^N o conjunto dos vetores x=(x_1,\ldots,x_N) em \mathbb{R}^N com componentes positivas. Uma função f:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} é chamada de positivamente homogênea de grau p, sendo p\geq 0 inteiro, se para todo \alpha\gt 0 tivermos f(\alpha x)=\alpha^p f(x). Classifique:
Analise a afirmativa
No caso N=1, a função definida por f(x)=x|x| é um exemplo de função positivamente homogênea de grau 2.
Analise a afirmativa
Se g:\mathbb{R}_{++}\to\mathbb{R} é uma função qualquer, então f(x_1,x_2)=x_2g(x_1/x_2) define uma função positivamente homogênea de grau 1 sobre \mathbb{R}_{++}^2.
Analise a afirmativa
Se g:\mathbb{R}_{++}\to\mathbb{R} é uma função positivamente homogênea de grau 1, então a função f:\mathbb{R}_{++}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=x_2g\left(\frac{x_1}{x_2}\right) é côncava.
Analise a afirmativa
Qualquer função g:\mathbb{R}_{++}\to\mathbb{R} positivamente homogênea de grau p satisfaz \lim_{x\to 0^+}g(x)\gt 0.
Analise a afirmativa
Sejam f:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} funções positivamente homogêneas de grau p. Defina, sobre o mesmo domínio, a soma f+g por (f+g)(x)=f(x)+g(x) e o produto fg por (fg)(x)=f(x)g(x). Portanto, f+g e fg são positivamente homogêneas de grau p.