Matemática – Anpec 2021
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Questões da prova
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Questão 01
Enunciado
Sejam A e B dois conjuntos não vazios, e considere duas funções f:Ato B e g:Bto A. Defina os conjuntos C={f(a):ain A} e D={bin B:g(b)\in A}. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 01
Sejam A e B dois conjuntos não vazios, e considere duas funções f:Ato B e g:Bto A. Defina os conjuntos C={f(a):ain A} e D={bin B:g(b)\in A}. Julgue as seguintes afirmativas:
A função h:Ato C que satisfaz h(a)=f(a) para todo ain A é uma sobrejeção.
Enunciado da questão 01
Sejam A e B dois conjuntos não vazios, e considere duas funções f:Ato B e g:Bto A. Defina os conjuntos C={f(a):ain A} e D={bin B:g(b)\in A}. Julgue as seguintes afirmativas:
D=B somente se g é injetora.
Enunciado da questão 01
Sejam A e B dois conjuntos não vazios, e considere duas funções f:Ato B e g:Bto A. Defina os conjuntos C={f(a):ain A} e D={bin B:g(b)\in A}. Julgue as seguintes afirmativas:
Se f e g são bijeções, então a função j:Ato B definida por j(a)=f(g(f(a))) também é uma bijeção.
Enunciado da questão 01
Sejam A e B dois conjuntos não vazios, e considere duas funções f:Ato B e g:Bto A. Defina os conjuntos C={f(a):ain A} e D={bin B:g(b)\in A}. Julgue as seguintes afirmativas:
Se g(f(a))=a para todo ain A, então f é injetora.
Enunciado da questão 01
Sejam A e B dois conjuntos não vazios, e considere duas funções f:Ato B e g:Bto A. Defina os conjuntos C={f(a):ain A} e D={bin B:g(b)\in A}. Julgue as seguintes afirmativas:
Se a função k:Ctimes Ato Btimes A definida por k(b,a)=(f(g(b)),g(f(a))) satisfizer k(b,a)=(b,a), então as funções f e g são ambas bijeções.
Questão 02
Enunciado
Considere os conjuntos A={(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=1} e B=Acap{(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1\geq0,x_2\geq0,x_3\geq0}. Seja y=(1/3,1/6,1/2). Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 02
Considere os conjuntos A={(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=1} e B=Acap{(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1\geq0,x_2\geq0,x_3\geq0}. Seja y=(1/3,1/6,1/2). Julgue as seguintes afirmativas:
Os subconjuntos A e B de \mathbb{R}^3 são exemplos de subespaços vetoriais de \mathbb{R}^3.
Enunciado da questão 02
Considere os conjuntos A={(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=1} e B=Acap{(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1\geq0,x_2\geq0,x_3\geq0}. Seja y=(1/3,1/6,1/2). Julgue as seguintes afirmativas:
Se os conjuntos C,Dsubseteqmathbb{R}^3 são definidos por C={x-yinmathbb{R}^3:xin A} e D={x-yinmathbb{R}^3:xin B}, então C é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3, mas D não é.
Enunciado da questão 02
Considere os conjuntos A={(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=1} e B=Acap{(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1\geq0,x_2\geq0,x_3\geq0}. Seja y=(1/3,1/6,1/2). Julgue as seguintes afirmativas:
A função f:\mathbb{R}^3tomathbb{R} definida por f(x_1,x_2,x_3)=x_1-x_3 não atinge um ponto de máximo em A, mas atinge um ponto de máximo em B.
Enunciado da questão 02
Considere os conjuntos A={(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=1} e B=Acap{(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1\geq0,x_2\geq0,x_3\geq0}. Seja y=(1/3,1/6,1/2). Julgue as seguintes afirmativas:
Seja z=(z_1,z_2,z_3)inmathbb{R}^3 satisfazendo z_1+z_2+z_3=0, e tome \alpha=\min{1/(3+3|z_1|),1/(6+6|z_2|),1/(2+2|z_3|)}. Então, para todo varepsilonin(0,\alpha), o vetor y+\varepsilon z pertence a B.
Enunciado da questão 02
Considere os conjuntos A={(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=1} e B=Acap{(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3:x_1\geq0,x_2\geq0,x_3\geq0}. Seja y=(1/3,1/6,1/2). Julgue as seguintes afirmativas:
A projeção ortogonal do vetor y sobre o complemento ortogonal do subespaço vetorial gerado pelo vetor (1,0,-1) é um elemento do conjunto B.
Questão 03
Enunciado
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais que contém pelo menos um subespaço vetorial de dimensão 1. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 03
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais que contém pelo menos um subespaço vetorial de dimensão 1. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se v\in V não é o vetor nulo, então o subespaço vetorial de V gerado pelo conjunto \{w\in V:w\neq v\} é diferente de V.
Enunciado da questão 03
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais que contém pelo menos um subespaço vetorial de dimensão 1. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se W_1 e W_2 são subespaços vetoriais de V, então tanto a união W_1\cup W_2 quanto a interseção W_1\cap W_2 são também subespaços vetoriais de V.
Enunciado da questão 03
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais que contém pelo menos um subespaço vetorial de dimensão 1. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
O conjunto de todas as matrizes de números reais 2\times2 invertíveis, acrescido da matriz nula, com soma e multiplicação por escalares feitas componente a componente, não é um exemplo de espaço vetorial V.
Enunciado da questão 03
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais que contém pelo menos um subespaço vetorial de dimensão 1. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se A=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}\subseteq V é um conjunto linearmente independente, e w\in V não pertence ao subespaço gerado por A, então A\cup\{w\} é um conjunto linearmente independente.
Enunciado da questão 03
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais que contém pelo menos um subespaço vetorial de dimensão 1. Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Considere V=\mathbb{R}^n. Se \langle v,w\rangle é um produto interno, então \langle v_1+v_2,w_1+w_2\rangle=\langle v_1,w_1\rangle+\langle v_2,w_2\rangle para quaisquer vetores v_1,v_2,w_1,w_2\in V.
Questão 04
Enunciado
Considere as funções f(x)=\int_0^x e^{t^2}\,dt e g(x)=\int_0^x e^{2t^2}\,dt definidas no intervalo [0,+\infty). Determine o valor H=\lim_{x\to+\infty}\frac{f^2(x)}{g(x)}.
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Questão 05
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 05
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se a sequência de números reais (x_n) satisfaz \lim_{n\to\infty}|x_n|=1, então \lim_{n\to\infty}x_n=1 ou \lim_{n\to\infty}x_n=-1.
Enunciado da questão 05
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^4}{2^n}=0.
Enunciado da questão 05
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{2^{n^2}}=0.
Enunciado da questão 05
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Dado 0\lt a\lt 1, defina x_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}a^k. Então \lim_{n\to\infty}x_n\sqrt{n}=+\infty.
Enunciado da questão 05
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!\ln\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^4\right]+2\sqrt{2}\left(n!+\sqrt{n!}\right)}{n!(2+2\sqrt{2})}=\sqrt{2}.
Questão 06
Enunciado
Considere a seguinte equação diferencial: y^{iv}-y''=x+1. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 06
Considere a seguinte equação diferencial: y^{iv}-y''=x+1. Julgue as seguintes afirmativas:
A equação característica associada à equação diferencial ordinária tem 3 raízes.
Enunciado da questão 06
Considere a seguinte equação diferencial: y^{iv}-y''=x+1. Julgue as seguintes afirmativas:
A solução particular da equação diferencial ordinária é um polinômio de grau 3.
Enunciado da questão 06
Considere a seguinte equação diferencial: y^{iv}-y''=x+1. Julgue as seguintes afirmativas:
A soma dos coeficientes da solução particular da equação diferencial ordinária é estritamente positiva.
Enunciado da questão 06
Considere a seguinte equação diferencial: y^{iv}-y''=x+1. Julgue as seguintes afirmativas:
A solução particular da equação diferencial ordinária é y_p=x^3/6-x^2/2.
Enunciado da questão 06
Considere a seguinte equação diferencial: y^{iv}-y''=x+1. Julgue as seguintes afirmativas:
A solução particular da equação diferencial ordinária restrita aos números reais não negativos atinge seu valor máximo em x=0.
Questão 07
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A série \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln\left[\frac{n^{n-1}}{(n-1)^n}\right]}{n(n-1)} é convergente e seu valor é 0.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} é uma função e 0\lt a\lt 1 é um número real dado de modo que, para todo x\geq 0, temos f(x)\leq a^x, então a série \sum_{n=1}^{\infty}f(n) converge.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n-2}{n^2} converge.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\operatorname{sen}(n\pi)=0.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se a>1 é um número inteiro, então \left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a^n}\right)-\frac{1+a}{a^2}=\frac{1}{a^3-a^2}.
Questão 08
Enunciado
Para N\geq 1, denote por \mathbb{R}_{++}^N o conjunto dos vetores x=(x_1,\ldots,x_N) em \mathbb{R}^N com componentes positivas. Uma função f:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} é chamada de positivamente homogênea de grau p, sendo p\geq 0 inteiro, se para todo \alpha\gt 0 tivermos f(\alpha x)=\alpha^p f(x). Classifique:
Enunciado da questão 08
Para N\geq 1, denote por \mathbb{R}_{++}^N o conjunto dos vetores x=(x_1,\ldots,x_N) em \mathbb{R}^N com componentes positivas. Uma função f:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} é chamada de positivamente homogênea de grau p, sendo p\geq 0 inteiro, se para todo \alpha\gt 0 tivermos f(\alpha x)=\alpha^p f(x). Classifique:
No caso N=1, a função definida por f(x)=x|x| é um exemplo de função positivamente homogênea de grau 2.
Enunciado da questão 08
Para N\geq 1, denote por \mathbb{R}_{++}^N o conjunto dos vetores x=(x_1,\ldots,x_N) em \mathbb{R}^N com componentes positivas. Uma função f:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} é chamada de positivamente homogênea de grau p, sendo p\geq 0 inteiro, se para todo \alpha\gt 0 tivermos f(\alpha x)=\alpha^p f(x). Classifique:
Se g:\mathbb{R}_{++}\to\mathbb{R} é uma função qualquer, então f(x_1,x_2)=x_2g(x_1/x_2) define uma função positivamente homogênea de grau 1 sobre \mathbb{R}_{++}^2.
Enunciado da questão 08
Para N\geq 1, denote por \mathbb{R}_{++}^N o conjunto dos vetores x=(x_1,\ldots,x_N) em \mathbb{R}^N com componentes positivas. Uma função f:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} é chamada de positivamente homogênea de grau p, sendo p\geq 0 inteiro, se para todo \alpha\gt 0 tivermos f(\alpha x)=\alpha^p f(x). Classifique:
Se g:\mathbb{R}_{++}\to\mathbb{R} é uma função positivamente homogênea de grau 1, então a função f:\mathbb{R}_{++}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=x_2g\left(\frac{x_1}{x_2}\right) é côncava.
Enunciado da questão 08
Para N\geq 1, denote por \mathbb{R}_{++}^N o conjunto dos vetores x=(x_1,\ldots,x_N) em \mathbb{R}^N com componentes positivas. Uma função f:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} é chamada de positivamente homogênea de grau p, sendo p\geq 0 inteiro, se para todo \alpha\gt 0 tivermos f(\alpha x)=\alpha^p f(x). Classifique:
Qualquer função g:\mathbb{R}_{++}\to\mathbb{R} positivamente homogênea de grau p satisfaz \lim_{x\to 0^+}g(x)\gt 0.
Enunciado da questão 08
Para N\geq 1, denote por \mathbb{R}_{++}^N o conjunto dos vetores x=(x_1,\ldots,x_N) em \mathbb{R}^N com componentes positivas. Uma função f:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} é chamada de positivamente homogênea de grau p, sendo p\geq 0 inteiro, se para todo \alpha\gt 0 tivermos f(\alpha x)=\alpha^p f(x). Classifique:
Sejam f:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}_{++}^N\to\mathbb{R} funções positivamente homogêneas de grau p. Defina, sobre o mesmo domínio, a soma f+g por (f+g)(x)=f(x)+g(x) e o produto fg por (fg)(x)=f(x)g(x). Portanto, f+g e fg são positivamente homogêneas de grau p.
Questão 09
Enunciado
Seja a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=e^{100x_1-5x_1^2+40x_2-5x_2^2+3}. Se D((x_1,x_2),(5,2)) denota a distância euclidiana do ponto (x_1,x_2) ao ponto (5,2), e \alpha\in\mathbb{R} é um parâmetro, considere o problema de maximizar f(x) sujeito a D((x_1,x_2),(5,2))\leq \alpha. Julgue:
Enunciado da questão 09
Seja a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=e^{100x_1-5x_1^2+40x_2-5x_2^2+3}. Se D((x_1,x_2),(5,2)) denota a distância euclidiana do ponto (x_1,x_2) ao ponto (5,2), e \alpha\in\mathbb{R} é um parâmetro, considere o problema de maximizar f(x) sujeito a D((x_1,x_2),(5,2))\leq \alpha. Julgue:
Os pontos que satisfazem a restrição do problema formam um conjunto convexo apenas quando 0\leq \alpha\leq 1.
Enunciado da questão 09
Seja a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=e^{100x_1-5x_1^2+40x_2-5x_2^2+3}. Se D((x_1,x_2),(5,2)) denota a distância euclidiana do ponto (x_1,x_2) ao ponto (5,2), e \alpha\in\mathbb{R} é um parâmetro, considere o problema de maximizar f(x) sujeito a D((x_1,x_2),(5,2))\leq \alpha. Julgue:
Se para \beta_1 e \beta_2 a desigualdade f(x_1,x_2)\geq f(y_1,y_2) equivale a -(x_1-\beta_1)^2-(x_2-\beta_2)^2\geq-(y_1-\beta_1)^2-(y_2-\beta_2)^2, então \beta_1 e \beta_2 são múltiplos de 5.
Enunciado da questão 09
Seja a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=e^{100x_1-5x_1^2+40x_2-5x_2^2+3}. Se D((x_1,x_2),(5,2)) denota a distância euclidiana do ponto (x_1,x_2) ao ponto (5,2), e \alpha\in\mathbb{R} é um parâmetro, considere o problema de maximizar f(x) sujeito a D((x_1,x_2),(5,2))\leq \alpha. Julgue:
Para todo \alpha\geq 0, o ponto que maximiza a função f de forma incondicional em \mathbb{R}^2 não satisfaz a restrição do problema.
Enunciado da questão 09
Seja a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=e^{100x_1-5x_1^2+40x_2-5x_2^2+3}. Se D((x_1,x_2),(5,2)) denota a distância euclidiana do ponto (x_1,x_2) ao ponto (5,2), e \alpha\in\mathbb{R} é um parâmetro, considere o problema de maximizar f(x) sujeito a D((x_1,x_2),(5,2))\leq \alpha. Julgue:
Quando \alpha=\sqrt{29}, na solução x^* para o problema de maximização, o gradiente \nabla f(x^*) é diferente de (0,0).
Enunciado da questão 09
Seja a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=e^{100x_1-5x_1^2+40x_2-5x_2^2+3}. Se D((x_1,x_2),(5,2)) denota a distância euclidiana do ponto (x_1,x_2) ao ponto (5,2), e \alpha\in\mathbb{R} é um parâmetro, considere o problema de maximizar f(x) sujeito a D((x_1,x_2),(5,2))\leq \alpha. Julgue:
A função g sobre \mathbb{R}^2 definida por g(x_1,x_2)=\ln f(x_1,x_2) é côncava.
Questão 10
Enunciado
Seja f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x)=-\frac{x_1^2}{4}+4\sqrt{5}x_1+x_2, em que x=(x_1,x_2). Dados p,m\in(0,+\infty), defina A=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1\geq 0,\ x_2\geq 0,\ px_1+x_2=m\}. Encontre o menor valor de m que faz com que, para qualquer p satisfazendo 0\lt p\lt 4\sqrt{5}, a condição \frac{\partial f(x)}{\partial x_1}=p forneça a solução para maximizar f(x) sujeito a x\in A.
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Questão 11
Enunciado
Considere duas funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, duas vezes continuamente diferenciáveis, que satisfazem, dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^3, a desigualdade |f'(x)-f(x)|^\alpha+\beta|g''(x)+g(x)|\leq \gamma. Julgue as afirmações:
Enunciado da questão 11
Considere duas funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, duas vezes continuamente diferenciáveis, que satisfazem, dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^3, a desigualdade |f'(x)-f(x)|^\alpha+\beta|g''(x)+g(x)|\leq \gamma. Julgue as afirmações:
Quando \alpha=\beta=1/2 e \gamma=0, as funções nulas f(x)=g(x)=0 satisfazem a desigualdade.
Enunciado da questão 11
Considere duas funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, duas vezes continuamente diferenciáveis, que satisfazem, dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^3, a desigualdade |f'(x)-f(x)|^\alpha+\beta|g''(x)+g(x)|\leq \gamma. Julgue as afirmações:
Quando \alpha=\beta=2 e \gamma=1, não existe solução para a desigualdade.
Enunciado da questão 11
Considere duas funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, duas vezes continuamente diferenciáveis, que satisfazem, dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^3, a desigualdade |f'(x)-f(x)|^\alpha+\beta|g''(x)+g(x)|\leq \gamma. Julgue as afirmações:
Quando \alpha=\gamma=1 e \beta=0, dada uma constante a\in\mathbb{R}, as funções definidas por f(x)=ae^x+\frac{\operatorname{sen}(x)}{2} e g(x)=2^{\frac{3^x}{2}}-2x para todo x satisfazem a desigualdade do enunciado.
Enunciado da questão 11
Considere duas funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, duas vezes continuamente diferenciáveis, que satisfazem, dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^3, a desigualdade |f'(x)-f(x)|^\alpha+\beta|g''(x)+g(x)|\leq \gamma. Julgue as afirmações:
Quando \alpha=\beta=1 e \gamma=0, a solução da desigualdade tem a forma f(x)=ae^x e g(x)=b\operatorname{sen}(x)+c\cos(x) para todo x, para determinadas constantes a,b,c\in\mathbb{R}.
Enunciado da questão 11
Considere duas funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, duas vezes continuamente diferenciáveis, que satisfazem, dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^3, a desigualdade |f'(x)-f(x)|^\alpha+\beta|g''(x)+g(x)|\leq \gamma. Julgue as afirmações:
Quando \alpha=\gamma=1 e \beta=0 e o sinal de desigualdade é substituído por igualdade, não existe função f que juntamente com outra função g satisfaça tal igualdade.
Questão 12
Enunciado
Um investimento inicial de valor A\gt 0 tem retorno de 200\% em cada período t=1,2,\ldots, podendo ser totalmente reinvestido. Porém, antes de o retorno incidir sobre o saldo em cada período t\geq 1, o investidor retira somente o valor de 2t. Sabe-se que, para g\gt 1, vale \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{g^k}=\frac{n-(n+1)g+g^{n+1}}{g^n(g-1)^2}. Denotando por S_t o saldo ao final do período t após a incidência do retorno, encontre 4L, em que L é o menor valor de A que faz com que S_t\geq 0 para todo período t.
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Questão 13
Enunciado
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 13
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
Se A, B e C são matrizes n\times n, sendo A e C invertíveis, e 0_{n\times n} representa a matriz n\times n cujas entradas são todas iguais a zero, então a matriz D, 2n\times 2n, definida por D=\begin{bmatrix}A & 0_{n\times n} \\ B & C\end{bmatrix}, é inversível.
Enunciado da questão 13
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
A matriz A=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 1 & 4 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 3 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 2\end{bmatrix} é diagonalizável.
Enunciado da questão 13
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
Considere uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 que transforme o hiperplano A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=1\} na reta B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x+y=1\}. Então qualquer ponto no hiperplano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0\} é levado a um ponto na reta \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x+y=0\}.
Enunciado da questão 13
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
O subespaço em \mathbb{R}^3 de dimensão 2 e que contém o conjunto \left\{x\in\mathbb{R}^3:x=t\begin{pmatrix}1\\-2\\5\end{pmatrix},\ t\in\mathbb{R}\right\} e o vetor \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} tem como complemento ortogonal o conjunto \left\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:-\frac{x_1}{2}+x_2-\frac{5x_3}{2}=0\right\}\cap\left\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:3x_1+2x_2+x_3=0\right\}.
Enunciado da questão 13
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
A função f:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=2x_1y_1+4x_1y_2+4x_2y_1+10x_2y_2 satisfaz as propriedades de um produto interno em \mathbb{R}^2.
Questão 14
Enunciado
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 14
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
\lim_{a\to 0}\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=+\infty.
Enunciado da questão 14
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
Se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função homogênea de grau 1 e f(2)=4, então \int_0^{\sqrt{3}}f(x)\,dx=1.
Enunciado da questão 14
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
\int_{-2}^{2}\left[\max\{2x,2x^2\}-x(1+x)-|x-x^2|\right]\,dx=0.
Enunciado da questão 14
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+e^x},dx=1.
Enunciado da questão 14
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
Se definimos f:(1,+\infty)\to\mathbb{R} por f(x)=\int_0^x\left(\int_1^t \frac{1}{u^2}\,du\right)dt, então f'(x)=\ln x^2.
Questão 15
Enunciado
Seja V=\iint_D f(x,y),dx,dy, em que f(x,y)=(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3) e D={(x,y)inmathbb{R}^2:-1\leq xleq0,0\leq yleq1}. Calcule 20V.
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