ANPEC 2021 — Matemática – Anpec 2021 — Questão 13

Se A, B e C são matrizes n\times n, sendo A e C invertíveis, e 0_{n\times n} representa a matriz n\times n cujas entradas são todas iguais a zero, então a matriz D, 2n\times 2n, definida por D=\begin{bmatrix}A & 0_{n\times n} \\ B & C\end{bmatrix}, é inversível.

A matriz A=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 1 & 4 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 3 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 2\end{bmatrix} é diagonalizável.

Considere uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 que transforme o hiperplano A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=1\} na reta B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x+y=1\}. Então qualquer ponto no hiperplano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0\} é levado a um ponto na reta \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x+y=0\}.

O subespaço em \mathbb{R}^3 de dimensão 2 e que contém o conjunto \left\{x\in\mathbb{R}^3:x=t\begin{pmatrix}1\\-2\\5\end{pmatrix},\ t\in\mathbb{R}\right\} e o vetor \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} tem como complemento ortogonal o conjunto \left\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:-\frac{x_1}{2}+x_2-\frac{5x_3}{2}=0\right\}\cap\left\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:3x_1+2x_2+x_3=0\right\}.

A função f:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=2x_1y_1+4x_1y_2+4x_2y_1+10x_2y_2 satisfaz as propriedades de um produto interno em \mathbb{R}^2.