Questão 02 — Matemática · ANPEC 2021
Enunciado da questão
Considere os conjuntos A=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=1\} e B=A\cap\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:x_1\geq0,x_2\geq0,x_3\geq0\}. Seja y=(1/3,1/6,1/2). Julgue as seguintes afirmativas:
Item 0
Os subconjuntos A e B de \mathbb{R}^3 são exemplos de subespaços vetoriais de \mathbb{R}^3.
Item 1
Se os conjuntos C,Dsubseteqmathbb{R}^3 são definidos por C=\{x-y\in\mathbb{R}^3:x\in A\} e D=\{x-y\in\mathbb{R}^3:x\in B\}, então C é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3, mas D não é.
Item 2
A função f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2,x_3)=x_1-x_3 não atinge um ponto de máximo em A, mas atinge um ponto de máximo em B.
Item 3
Seja z=(z_1,z_2,z_3)\in\mathbb{R}^3 satisfazendo z_1+z_2+z_3=0, e tome \alpha=\min\{1/(3+3|z_1|),1/(6+6|z_2|),1/(2+2|z_3|)\}. Então, para todo varepsilonin(0,\alpha), o vetor y+\varepsilon z pertence a B.
Item 4
A projeção ortogonal do vetor y sobre o complemento ortogonal do subespaço vetorial gerado pelo vetor (1,0,-1) é um elemento do conjunto B.