ANPEC 2021 — Matemática – Anpec 2021 — Questão 11
Enunciado da questão
Considere duas funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, duas vezes continuamente diferenciáveis, que satisfazem, dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^3, a desigualdade |f'(x)-f(x)|^\alpha+\beta|g''(x)+g(x)|\leq \gamma. Julgue as afirmações:
Analise a afirmativa
Quando \alpha=\beta=1/2 e \gamma=0, as funções nulas f(x)=g(x)=0 satisfazem a desigualdade.
Analise a afirmativa
Quando \alpha=\beta=2 e \gamma=1, não existe solução para a desigualdade.
Analise a afirmativa
Quando \alpha=\gamma=1 e \beta=0, dada uma constante a\in\mathbb{R}, as funções definidas por f(x)=ae^x+\frac{\operatorname{sen}(x)}{2} e g(x)=2^{\frac{3^x}{2}}-2x para todo x satisfazem a desigualdade do enunciado.
Analise a afirmativa
Quando \alpha=\beta=1 e \gamma=0, a solução da desigualdade tem a forma f(x)=ae^x e g(x)=b\operatorname{sen}(x)+c\cos(x) para todo x, para determinadas constantes a,b,c\in\mathbb{R}.
Analise a afirmativa
Quando \alpha=\gamma=1 e \beta=0 e o sinal de desigualdade é substituído por igualdade, não existe função f que juntamente com outra função g satisfaça tal igualdade.