ANPEC 2018 — Matemática – Anpec 2018 — Questão 13
Enunciado da questão
Seja f(x,y)=xy e g(x,y)=\alpha x+\beta y, em que \alpha e \beta são estritamente maiores que zero. Seja a\gt 0 e considere o problema de otimização \max_{x,y} f(x,y) sujeito a x\geq 0, y\geq 0 e g(x,y)\leq a. Identifique abaixo quais são as questões verdadeiras e quais são as falsas:
Analise a afirmativa
Podemos garantir que a restrição g(x,y)\leq a é inativa para a solução do problema acima, para quaisquer valores estritamente positivos de a, \alpha e \beta.
Analise a afirmativa
Podemos garantir que a restrição x\geq 0 é inativa para a solução do problema acima, para quaisquer valores estritamente positivos de a, \alpha e \beta.
Analise a afirmativa
Se g(x,y)=2x+y, então a solução é (x^*,y^*)=\left(\frac{a}{4},\frac{a}{2}\right).
Analise a afirmativa
Se g(x,y)=2x+y, então \frac{d}{da}f(x^*(a),y^*(a))=\frac{a}{8}.
Analise a afirmativa
Se a solução do problema satisfizer g(x^*,y^*)-a=0, então teremos que o gradiente de f e o gradiente de g em (x^*,y^*) são perpendiculares.