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Questão 01
Considere o conjunto dos números reais \mathbb{R} munido das operações usuais de soma e produto. Dados x,y \in \mathbb{R} , classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
Considere o conjunto dos números reais \mathbb{R} munido das operações usuais de soma e produto. Dados x,y \in \mathbb{R}, classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
Não respondido
Vale que x^2+y^2=0 se, e somente se, x=0 e y=0.
Não respondido
Vale que
x^2 \lt y^2 se, e somente se,
\lvert x\rvert \lt \lvert y\rvert.
Não respondido
Vale a desigualdade \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}, para todo x,y\geq 0.
Não respondido
Se x^{2026}=y^{2026} então x-y=0 ou x+y=0.
Não respondido
Se xy\lt0 então x\lt0 e y\gt0.
Questão 02
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2) sobre todo o seu domínio em todos os itens abaixo. Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
Considere a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2) sobre todo o seu domínio em todos os itens abaixo. Avalie como verdadeiras ou falsas as seguintes assertivas:
Não respondido
A equação f(x,y)=c admite pelo menos uma solução (x_c,y_c)\in\mathbb{R}^2 para todo c\in\mathbb{R}.
Não respondido
Se f(a,b)\lt 0 e f(c,d)\lt 0, então f\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)\lt 0.
Não respondido
A origem é o único ponto crítico de f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e é classificada como um ponto de sela.
Não respondido
A origem é ponto de mínimo local de f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} restrita ao conjunto G_h\subseteq\mathbb{R}^2, onde G_h é o gráfico de h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que h(x)=ax, com a\neq 0 arbitrário.
Não respondido
A origem é ponto de máximo global de f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} restrita ao conjunto G_g\subseteq\mathbb{R}^2, onde G_g é o gráfico de g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que g(x)=ax^2, com a\gt 1 e a\neq 3 uma constante arbitrária.
Questão 03
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Não respondido
O limite \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n+2\ln 3+\ln 5}{n}\right)^{2n} existe e é maior do que 2025.
Não respondido
Se (x_n) e (y_n) são sequências de números reais tais que \lim_{n\to\infty}\frac{x_n+y_n}{2}=1, então \lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=1.
Não respondido
\lim_{n\to\infty}\frac{100n+1000}{n^2(1+\sqrt{n})}=0.
Não respondido
Seja f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} uma função definida por f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2+x}{(2+x)^n} para todo x\geq 0, então f'(x)f''(x)>0 para todo x>0.
Não respondido
A série \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-3)^{3n}}{(n+3)^3} converge.
Questão 04
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Não respondido
A função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(0)=0 e f(x)=x+2x^2\operatorname{sen}(1/x) se x\neq 0 não é diferenciável.
Não respondido
Considere as funções f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definidas por f(x)=e^x e g(x)=-x. Então, existe pelo menos uma escolha de valores x_1,x_2\in\mathbb{R}, com x_1\neq x_2, tais que a matriz \begin{pmatrix} f(x_1) & g(x_1) \ f(x_2) & g(x_2) \end{pmatrix} admite inversa.
Não respondido
Seja a matriz 3\times 2 dada por A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\2&2\end{pmatrix}. Então, a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por f(x)=Ax é uma transformação linear injetora.
Não respondido
Dada a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=\operatorname{sen}(x_1)\cos(x_2) e todo seu domínio, a função T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} em que T(x_1,x_2)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right)x_2 é uma transformação linear e \nabla T(x_1,x_2) é perpendicular ao vetor (1,-1), \forall (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2.
Não respondido
Sejam f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} duas funções homogêneas de grau 1, onde f é sobrejetora. Defina a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 de modo que h(x)=(f(x),g(x)). Então, o conjunto V=\{h(x):x\in\mathbb{R}\} é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^2 com \dim(V)\lt 2.
Questão 05
Seja V=\mathbb{R}^3 e denote por \langle x,y\rangle o produto interno usual no \mathbb{R}^3 . Fixados u,v\in V vetores não nulos, tome os seguintes conjuntos S=\{x\in V:\langle u,x\rangle=0\} e T=\{x\in V:\langle v,x\rangle=0\} , além de W=S\cap T . Julgue as assertivas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Seja V=\mathbb{R}^3 e denote por \langle x,y\rangle o produto interno usual no \mathbb{R}^3. Fixados u,v\in V vetores não nulos, tome os seguintes conjuntos S=\{x\in V:\langle u,x\rangle=0\} e T=\{x\in V:\langle v,x\rangle=0\}, além de W=S\cap T. Julgue as assertivas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Não respondido
Se os vetores u e v são linearmente independentes, então W contém apenas o vetor nulo do espaço V.
Não respondido
O conjunto C=\{x+y:x\in S,\ y\in T\} é um subespaço vetorial de V com a propriedade de que C\subseteq W.
Não respondido
Se os vetores u e v são linearmente dependentes, então S=T.
Não respondido
Suponha que u\neq v e seja W^\perp o complemento ortogonal de W. Então, W^\perp é um subespaço vetorial de V em que \dim W^\perp=2.
Não respondido
Se u=(2,1,2) e v=(0,1,0), então o conjunto W contém o subespaço invariante associado ao autovalor negativo da matriz \begin{pmatrix}-2&0&-3/2\\0&1&0\\3&0&5/2\end{pmatrix}.