Questões ANPEC
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Questão 05
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Não respondido
As soluções da equação diferencial y=2y' são dadas por funções da forma y(x)=ce^{2x}, em que c é uma constante.
Não respondido
Uma função y:(0,+\infty)tomathbb{R} é solução da equação diferencial y'=y/x-1 se, e somente se, y(x)=x(c-\ln(x)), para alguma constante cinmathbb{R}.
Não respondido
Uma função y:\mathbb{R}tomathbb{R} é solução da equação diferencial xy'-y=0 se, e somente se, y for uma função linear, ou seja, existe kinmathbb{R} tal que y(x)=kx, para todo xinmathbb{R}.
Não respondido
Uma função y:\mathbb{R}tomathbb{R} é solução da equação diferencial y''=\alpha y'+\beta, em que \alpha,betainmathbb{R} com alphaneq 0, se, e somente se, existe uma constante cinmathbb{R} tal que y(x)=-\frac{\beta}{\alpha}x+c.
Não respondido
Dada uma função real y:\mathbb{R}tomathbb{R} que possui derivadas de todas as ordens, denote por y^{(n)}(x) a sua derivada de ordem ngeq 3. Fixado ngeq 3, o conjunto de todas as soluções para y^{(n)}=0 é dado pelo conjunto de todos os polinômios p:\mathbb{R}tomathbb{R} de grau menor ou igual a n.
Questão 10
Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
Não respondido
A função x(t)=e^t+1 é uma solução para a equação diferencial x'(t)=x(t)+t em \mathbb{R}.
Não respondido
Sabendo que x_0=4, temos que x_t=\left(\frac{2}{3}\right)^t+3 é solução da equação em diferenças 3x_{t+1}=2x_t+3.
Não respondido
Considere funções de demanda e oferta de um determinado bem dadas, respectivamente, por d(p)=a_0-b_0p e s(p)=a_1+b_1p, em que a_0,b_0,a_1,b_1 são constantes positivas e a_0\gt a_1. Supondo que o preço p=p(t) varie com o tempo de modo que p'(t)=\lambda(d(p)-s(p)), com \lambda\gt 0, tem-se que existe uma constante real C tal que p(t)=Ce^{-\lambda(a_0-a_1)t}+\frac{a_0-a_1}{b_0+b_1}.
Em particular, quando t\to\infty, p(t) converge para o preço de equilíbrio p^e=\frac{a_0-a_1}{b_0+b_1}.
Não respondido
As funções x_1(t)=\sin(t) e x_2(t)=\cos(t) são as únicas soluções para a equação diferencial x''(t)+x(t)=0.
Não respondido
Se a,b\in\mathbb{R} satisfazem a^2=4b, então a solução geral para a equação x''(t)+ax'(t)+bx(t)=0 é x(t)=(A+Bt)e^{-\left(\frac{a}{2}\right)t}, em que A,B\in\mathbb{R} são constantes.
Questão 09
Suponha que o tempo é contínuo e que os preços p_t se ajustam de maneira proporcional ao excesso de demanda z_t com constante de proporcionalidade k . Isto é, dot{p}_t=kz_t . Assumindo que as ofertas e demandas são lineares, q_t^s=c+dp_t e q_t^d=a-bp_t , respectivamente, julgue as seguintes afirmativas, se as constantes k , a , b , c e d…
Não respondido
A equação diferencial para o preço é dot{p}_t=k(b+d)p_t-k(a-c).
Não respondido
O estado estacionário do preço depende da constante de proporcionalidade k.
Não respondido
O estado estacionário \bar{p} é sempre positivo.
Não respondido
O estado estacionário é estável independentemente das constantes.
Não respondido
Se p_t=Ae^{Bt}+\bar{p} é a solução particular de dot{p}_t=kz_t, então (p_0-A)B=a-c.
Questão 10
Uma bactéria está disseminando-se rapidamente, de maneira que a velocidade de propagação segue a equação dot p=Ap(1-p) , em que p=p(t)\in[0,1] é a percentagem da população contaminada após tge0 dias, dot p=dp/dt e A>0 é uma constante. Analisar a veracidade das seguintes afirmações:
Não respondido
A função p é uma função logarítmica;
Não respondido
Se inicialmente havia 1% da população infectada e depois de 4 dias 10% da população mostrou-se contaminada, então A=\frac{1}{4}\ln(11);
Não respondido
O tempo necessário para a bactéria duplicar a população inicialmente infectada é A^{-1}\ln 2;
Não respondido
Se inicialmente havia 10% de infectados, o instante da maior velocidade de propagação da bactéria é A^{-1}2\ln 3;
Não respondido
Existe um valor de A>0 para o qual a máxima percentagem da população que resulta infectada é 50%.