ANPEC 2022 — Matemática – Anpec 2022 — Questão 05

As soluções da equação diferencial y=2y' são dadas por funções da forma y(x)=ce^{2x}, em que c é uma constante.

Uma função y:(0,+\infty)tomathbb{R} é solução da equação diferencial y'=y/x-1 se, e somente se, y(x)=x(c-\ln(x)), para alguma constante cinmathbb{R}.

Uma função y:\mathbb{R}tomathbb{R} é solução da equação diferencial xy'-y=0 se, e somente se, y for uma função linear, ou seja, existe kinmathbb{R} tal que y(x)=kx, para todo xinmathbb{R}.

Uma função y:\mathbb{R}tomathbb{R} é solução da equação diferencial y''=\alpha y'+\beta, em que \alpha,betainmathbb{R} com alphaneq 0, se, e somente se, existe uma constante cinmathbb{R} tal que y(x)=-\frac{\beta}{\alpha}x+c.

Dada uma função real y:\mathbb{R}tomathbb{R} que possui derivadas de todas as ordens, denote por y^{(n)}(x) a sua derivada de ordem ngeq 3. Fixado ngeq 3, o conjunto de todas as soluções para y^{(n)}=0 é dado pelo conjunto de todos os polinômios p:\mathbb{R}tomathbb{R} de grau menor ou igual a n.