Matemática – Anpec 2022
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Questões da prova
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Questão 01
Enunciado
Seja \mathbb{R} o conjunto dos números reais. Dado um subconjunto finito A\subseteq\mathbb{R}, denote por \operatorname{card}(A) a sua cardinalidade, ou seja, o número de elementos em A. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{R} o conjunto dos números reais. Dado um subconjunto finito A\subseteq\mathbb{R}, denote por \operatorname{card}(A) a sua cardinalidade, ou seja, o número de elementos em A. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Dados dois subconjuntos finitos A,B\subseteq\mathbb{R}, se B\subseteq A, então \operatorname{card}(B)\leq \operatorname{card}(A).
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{R} o conjunto dos números reais. Dado um subconjunto finito A\subseteq\mathbb{R}, denote por \operatorname{card}(A) a sua cardinalidade, ou seja, o número de elementos em A. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Dados dois subconjuntos finitos A,B\subseteq\mathbb{R}, se \operatorname{card}(B)\leq \operatorname{card}(A), então B\subseteq A.
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{R} o conjunto dos números reais. Dado um subconjunto finito A\subseteq\mathbb{R}, denote por \operatorname{card}(A) a sua cardinalidade, ou seja, o número de elementos em A. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Dados dois subconjuntos finitos A,B\subseteq\mathbb{R} tais que B\subseteq A. Tomando C=A\setminus B=\{a\in\mathbb{R}:a\in A\ \text{e}\ a\notin B\} e sendo P(C) o conjunto das partes de C, então vale a igualdade \operatorname{card}(P(C))=\frac{2^{\operatorname{card}(A)}}{2^{\operatorname{card}(B)}}.
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{R} o conjunto dos números reais. Dado um subconjunto finito A\subseteq\mathbb{R}, denote por \operatorname{card}(A) a sua cardinalidade, ou seja, o número de elementos em A. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Dados dois subconjuntos finitos A,B\subseteq\mathbb{R} e uma função f:A\to B, se \operatorname{card}(A)\gt\operatorname{card}(B), então f não é injetora.
Enunciado da questão 01
Seja \mathbb{R} o conjunto dos números reais. Dado um subconjunto finito A\subseteq\mathbb{R}, denote por \operatorname{card}(A) a sua cardinalidade, ou seja, o número de elementos em A. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Dados dois subconjuntos finitos A,B\subseteq\mathbb{R} tais que \operatorname{card}(A)\lt \operatorname{card}(B), é possível encontrar uma função sobrejetora f:A\to B.
Questão 02
Enunciado
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 02
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Se {v_1,v_2,v_3}\subseteq V é um conjunto linearmente independente, então o conjunto {v_1-v_3,v_2-v_3,v_3} também é linearmente independente.
Enunciado da questão 02
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Se W_1 e W_2 são subespaços vetoriais de V, então o conjunto {w_1-w_2:w_1\in W_1, w_2\in W_2} também é um subespaço vetorial de V.
Enunciado da questão 02
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Para o caso em que V=\mathbb{R}^3, e A e B são duas matrizes reais 3\times 3, suponha que W_1 é o núcleo de A e W_2 é o núcleo de B. Portanto, W_1 e W_2 são subespaços vetoriais de V, e o conjunto \{w_1+w_2\in\mathbb{R}^3:w_1\in W_1,\ w_2\in W_2\} é o núcleo da matriz A+B.
Enunciado da questão 02
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Para o caso em que V=\mathbb{R}^2, qualquer elemento do conjunto {(x_1,x_2)\in V:x_1-x_2=1} pode ser expresso como a soma de (1,1) com algum elemento do conjunto {(x_1,x_2)\in V:x_1-x_2=0}.
Enunciado da questão 02
Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Para o caso em que V é o conjunto das matrizes reais 2\times 2, em que a soma entre matrizes e a multiplicação por escalares são feitas da forma padrão, entrada a entrada, o subconjunto das matrizes reais do tipo \begin{pmatrix}a & c \\ c & d\end{pmatrix} com ad=0 não forma um subespaço vetorial de V.
Questão 03
Enunciado
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 03
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Para todo número natural n\geq 1, vale que \sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln(n+1), em que \ln(a) representa o logaritmo natural de a\gt 0.
Enunciado da questão 03
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Para todo número real x\in\mathbb{R}, vale que x+\sqrt{x^2+1}\gt 0.
Enunciado da questão 03
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Dados dois números reais x,y\in\mathbb{R}, vale a desigualdade |x-y|\geq 1 se, e somente se, x\geq y+1.
Enunciado da questão 03
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
O conjunto A=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{x}{e^x}\gt e^{-1}\right\} satisfaz A=\varnothing, em que e=2{,}718281\ldots é o número irracional neperiano.
Enunciado da questão 03
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Para todo número real x\gt 0 tal que x\neq 1, vale a desigualdade \ln(x)\lt x-1, permitindo concluir que \pi^e\lt e^{\pi}, em que \pi=3{,}14159\ldots é o número irracional pi.
Questão 04
Enunciado
Considere as funções f,g,h:\mathbb{R}tomathbb{R}, definidas, respectivamente, por f(x)=(\max{x,0})^2, g(x)=-(\min{x,0})^2 e h(x)=[f(x-1)+g(x-1)]^3. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 04
Considere as funções f,g,h:\mathbb{R}tomathbb{R}, definidas, respectivamente, por f(x)=(\max{x,0})^2, g(x)=-(\min{x,0})^2 e h(x)=[f(x-1)+g(x-1)]^3. Julgue as seguintes afirmativas:
f(x)+g(-x)=x^2 para todo xinmathbb{R}.
Enunciado da questão 04
Considere as funções f,g,h:\mathbb{R}tomathbb{R}, definidas, respectivamente, por f(x)=(\max{x,0})^2, g(x)=-(\min{x,0})^2 e h(x)=[f(x-1)+g(x-1)]^3. Julgue as seguintes afirmativas:
A função h é uma bijeção.
Enunciado da questão 04
Considere as funções f,g,h:\mathbb{R}tomathbb{R}, definidas, respectivamente, por f(x)=(\max{x,0})^2, g(x)=-(\min{x,0})^2 e h(x)=[f(x-1)+g(x-1)]^3. Julgue as seguintes afirmativas:
A função f é contínua em x=0.
Enunciado da questão 04
Considere as funções f,g,h:\mathbb{R}tomathbb{R}, definidas, respectivamente, por f(x)=(\max{x,0})^2, g(x)=-(\min{x,0})^2 e h(x)=[f(x-1)+g(x-1)]^3. Julgue as seguintes afirmativas:
A função g não é derivável em x=0.
Enunciado da questão 04
Considere as funções f,g,h:\mathbb{R}tomathbb{R}, definidas, respectivamente, por f(x)=(\max{x,0})^2, g(x)=-(\min{x,0})^2 e h(x)=[f(x-1)+g(x-1)]^3. Julgue as seguintes afirmativas:
A função h possui um ponto de inflexão em x=-1.
Questão 05
Enunciado
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 05
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
As soluções da equação diferencial y=2y' são dadas por funções da forma y(x)=ce^{2x}, em que c é uma constante.
Enunciado da questão 05
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Uma função y:(0,+\infty)tomathbb{R} é solução da equação diferencial y'=y/x-1 se, e somente se, y(x)=x(c-\ln(x)), para alguma constante cinmathbb{R}.
Enunciado da questão 05
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Uma função y:\mathbb{R}tomathbb{R} é solução da equação diferencial xy'-y=0 se, e somente se, y for uma função linear, ou seja, existe kinmathbb{R} tal que y(x)=kx, para todo xinmathbb{R}.
Enunciado da questão 05
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Uma função y:\mathbb{R}tomathbb{R} é solução da equação diferencial y''=\alpha y'+\beta, em que \alpha,betainmathbb{R} com alphaneq 0, se, e somente se, existe uma constante cinmathbb{R} tal que y(x)=-\frac{\beta}{\alpha}x+c.
Enunciado da questão 05
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Dada uma função real y:\mathbb{R}tomathbb{R} que possui derivadas de todas as ordens, denote por y^{(n)}(x) a sua derivada de ordem ngeq 3. Fixado ngeq 3, o conjunto de todas as soluções para y^{(n)}=0 é dado pelo conjunto de todos os polinômios p:\mathbb{R}tomathbb{R} de grau menor ou igual a n.
Questão 06
Enunciado
Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue as afirmações abaixo de acordo com a sua veracidade:
Enunciado da questão 06
Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue as afirmações abaixo de acordo com a sua veracidade:
Se todo elemento do intervalo [0,1] é ponto de máximo local da função f, então \int_0^1 f''(x)\,dx\lt 0.
Enunciado da questão 06
Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue as afirmações abaixo de acordo com a sua veracidade:
Se f'(x^*)=-1 e f''(x^*)\lt 0, então x^* é ponto de máximo local da função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por g(x)=f(x)+x.
Enunciado da questão 06
Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue as afirmações abaixo de acordo com a sua veracidade:
Se, para todo natural n\geq 1, vale que f(c)\geq f(x)-\frac{1}{n} para todo x, então f'(c)=0.
Enunciado da questão 06
Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue as afirmações abaixo de acordo com a sua veracidade:
Se g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é definida por g(x)=f(e^x), então g'(x)=f'(x)e^x.
Enunciado da questão 06
Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue as afirmações abaixo de acordo com a sua veracidade:
Se 0\leq f(x)\leq 1, então 0\leq f''(x)\leq 1.
Questão 07
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Sejam (x_n), (y_n) e (z_n) sequências de números reais. Se a sequência (z_n) é convergente e z_n=\frac{x_n+y_n}{2} para todo n\geq 1, então (x_n) e (y_n) são convergentes.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^m=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^m.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A sequência de números reais (x_n) cujo termo geral satisfaz x_n=\frac{(-1)^n}{n}, para todo n\geq 1, não converge.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{3n}=0.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\lim_{n\to\infty}\frac{2022^n}{n^{2022}}=+\infty.
Questão 08
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 08
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se (x_n) é uma sequência com x_n\gt 0 para todo n\geq 1, e \lim_{n\to\infty}x_n=1, então a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_{n+1}^2-x_n^2}{x_{n+1}+x_n} converge.
Enunciado da questão 08
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se x_n=\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} e y_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}, então \sum_{n=1}^{\infty}x_n e \sum_{n=1}^{\infty}y_n são séries convergentes e, portanto, são também convergentes \sum_{n=1}^{\infty}(x_n+y_n) e \sum_{n=1}^{\infty}x_ny_n.
Enunciado da questão 08
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Para qualquer número real a satisfazendo 2\lt a\lt 3, a série \sum_{n=1}^{\infty}(3-a)^n converge.
Enunciado da questão 08
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A série \sum_{n\geq 2}\frac{(-1)^n}{n^n} é absolutamente convergente.
Enunciado da questão 08
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!} converge.
Questão 09
Enunciado
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 09
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
A taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital quadruplique de valor após 2 anos é igual a 25% ao bimestre.
Enunciado da questão 09
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Considerando o regime de juros simples, a taxa de 3,6% ao ano é equivalente à taxa de 1,2% ao trimestre.
Enunciado da questão 09
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Considerando o regime de juros compostos, a taxa de 5% ao semestre é equivalente à taxa de 10,25% ao ano.
Enunciado da questão 09
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Se uma aplicação de R$ 120.000,00, realizada em certa data à taxa de juros composta de 2,4% ao mês, produz um montante de R$ 145.071,24 em uma data futura, então o prazo ngeq 1 em meses pode ser determinado como solução da equação (1,024)^n=1,208927.
Enunciado da questão 09
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Um bem no valor de R$ 500.000,00 é vendido nas seguintes condições: entrada de R$ 150.000,00; três parcelas mensais, iguais e sucessivas de R$ 100.000,00 nos meses seguintes; e uma última parcela ao final do sexto mês também no valor de R$ 100.000,00. Logo, a taxa de juros embutida no financiamento do bem, denotada por i, é solução da equação 3,5=\sum_{t=1}^{3}\frac{1}{(1+i)^t}+\frac{1}{(1+i)^6}.
Questão 10
Enunciado
Considere a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x,y)=x^2+(1+x)^3y^2 para todo (x,y)inmathbb{R}^2. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 10
Considere a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x,y)=x^2+(1+x)^3y^2 para todo (x,y)inmathbb{R}^2. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
A função \frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R}^2tomathbb{R} é homogênea de grau 4.
Enunciado da questão 10
Considere a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x,y)=x^2+(1+x)^3y^2 para todo (x,y)inmathbb{R}^2. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
A função f tem mais do que um ponto crítico.
Enunciado da questão 10
Considere a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x,y)=x^2+(1+x)^3y^2 para todo (x,y)inmathbb{R}^2. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Existe um ponto de mínimo local para f.
Enunciado da questão 10
Considere a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x,y)=x^2+(1+x)^3y^2 para todo (x,y)inmathbb{R}^2. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Existe um ponto de máximo local para f.
Enunciado da questão 10
Considere a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x,y)=x^2+(1+x)^3y^2 para todo (x,y)inmathbb{R}^2. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
A função f assume um valor mínimo em seu domínio.
Questão 11
Enunciado
Dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta)inmathbb{R}^2, são definidas duas funções f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} e g:\mathbb{R}^2tomathbb{R} por f(x_1,x_2)=x_1+\alpha x_2 e g(x_1,x_2)=(x_1-1)^2+\beta(x_2^2-1). Considere o problema de otimização que consiste em maximizar f(x_1,x_2) sujeito a g(x_1,x_2)=0. Defina o lagrangeano \mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=f(x_1,x_2)-\lambda g(x_1,x_2). O gradiente de \mathcal{L} é notado por nablamathcal{L}(x_1,x_2,\lambda). Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 11
Dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta)inmathbb{R}^2, são definidas duas funções f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} e g:\mathbb{R}^2tomathbb{R} por f(x_1,x_2)=x_1+\alpha x_2 e g(x_1,x_2)=(x_1-1)^2+\beta(x_2^2-1). Considere o problema de otimização que consiste em maximizar f(x_1,x_2) sujeito a g(x_1,x_2)=0. Defina o lagrangeano \mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=f(x_1,x_2)-\lambda g(x_1,x_2). O gradiente de \mathcal{L} é notado por nablamathcal{L}(x_1,x_2,\lambda). Julgue as seguintes afirmativas:
Quando \alpha=1 e \beta=0 o problema não tem solução.
Enunciado da questão 11
Dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta)inmathbb{R}^2, são definidas duas funções f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} e g:\mathbb{R}^2tomathbb{R} por f(x_1,x_2)=x_1+\alpha x_2 e g(x_1,x_2)=(x_1-1)^2+\beta(x_2^2-1). Considere o problema de otimização que consiste em maximizar f(x_1,x_2) sujeito a g(x_1,x_2)=0. Defina o lagrangeano \mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=f(x_1,x_2)-\lambda g(x_1,x_2). O gradiente de \mathcal{L} é notado por nablamathcal{L}(x_1,x_2,\lambda). Julgue as seguintes afirmativas:
Quando \alpha=-1 e \beta=1 o problema não tem solução.
Enunciado da questão 11
Dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta)inmathbb{R}^2, são definidas duas funções f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} e g:\mathbb{R}^2tomathbb{R} por f(x_1,x_2)=x_1+\alpha x_2 e g(x_1,x_2)=(x_1-1)^2+\beta(x_2^2-1). Considere o problema de otimização que consiste em maximizar f(x_1,x_2) sujeito a g(x_1,x_2)=0. Defina o lagrangeano \mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=f(x_1,x_2)-\lambda g(x_1,x_2). O gradiente de \mathcal{L} é notado por nablamathcal{L}(x_1,x_2,\lambda). Julgue as seguintes afirmativas:
Quando \alpha=\beta=1 o problema tem uma única solução, que pode ser encontrada resolvendo-se nablamathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=(0,0,0).
Enunciado da questão 11
Dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta)inmathbb{R}^2, são definidas duas funções f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} e g:\mathbb{R}^2tomathbb{R} por f(x_1,x_2)=x_1+\alpha x_2 e g(x_1,x_2)=(x_1-1)^2+\beta(x_2^2-1). Considere o problema de otimização que consiste em maximizar f(x_1,x_2) sujeito a g(x_1,x_2)=0. Defina o lagrangeano \mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=f(x_1,x_2)-\lambda g(x_1,x_2). O gradiente de \mathcal{L} é notado por nablamathcal{L}(x_1,x_2,\lambda). Julgue as seguintes afirmativas:
Quando \alpha=\beta=0 uma solução do problema pode ser encontrada resolvendo-se nablamathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=(0,0,0).
Enunciado da questão 11
Dada uma lista de parâmetros (\alpha,\beta)inmathbb{R}^2, são definidas duas funções f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} e g:\mathbb{R}^2tomathbb{R} por f(x_1,x_2)=x_1+\alpha x_2 e g(x_1,x_2)=(x_1-1)^2+\beta(x_2^2-1). Considere o problema de otimização que consiste em maximizar f(x_1,x_2) sujeito a g(x_1,x_2)=0. Defina o lagrangeano \mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=f(x_1,x_2)-\lambda g(x_1,x_2). O gradiente de \mathcal{L} é notado por nablamathcal{L}(x_1,x_2,\lambda). Julgue as seguintes afirmativas:
Quando \alpha=0 e \beta=1 o ponto (1,0) resolve o problema.
Questão 12
Enunciado
Dado um parâmetro ainmathbb{R}, considere a função f:\mathbb{R}^2tomathbb{R} definida por f(x,y)=-x^2-xy-2y^2+2ax+2ay e o problema de maximização \max_{(x,y)inmathbb{R}^2} f(x,y). Denotando por (x^*,y^*)=(x^*(a),y^*(a)) a solução deste problema, seja f^*:\mathbb{R}tomathbb{R} tal que f^*(a)=f(x^*,y^*) a função valor correspondente. Calcule a derivada de f^* no ponto a=14, ou seja, o valor de \frac{df^*}{da}(14).
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Questão 13
Enunciado
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 13
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
Seja f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R} uma função diferenciável. Suponha que \bar{x}\in\mathbb{R}^N não é um ponto crítico da função f. Se A=\begin{pmatrix}\frac{\partial f(\bar{x})}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f(\bar{x})}{\partial x_N}\end{pmatrix} e A^T denota a transposta de A, então a matriz AA^T tem posto 1.
Enunciado da questão 13
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
A equação (x-2)^3+x(y-1)^2-\ln y=1 define implicitamente y como função de x em uma vizinhança do ponto (3,1)\in\mathbb{R}^2, e denotamos para expressar isso y=h(x). Esta função satisfaz \frac{dh}{dx}(3)=\frac{1}{2}.
Enunciado da questão 13
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
Considerando a função f:\mathbb{R}\times[0,1)\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=(x^2+y^2)(ye^{|x|}-1), para cada x\in\mathbb{R} existe um único y=h(x)\in[0,1) tal que f(x,h(x))=0, o que define uma função contínua h:\mathbb{R}\to[0,1).
Enunciado da questão 13
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
Seja f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} continuamente diferenciável, e g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por g(x_1,x_2)=f(x_1,x_2)+\cos(x_1x_2). Denotamos por \langle z,w\rangle o produto interno padrão no \mathbb{R}^2, e por \nabla f(x) e \nabla g(x) os gradientes das duas funções. Então \langle \nabla f(x)-\nabla g(x),\nabla f(x)-\nabla g(x)\rangle\leq 1 para todo x\in\mathbb{R}^2 cuja distância euclidiana ao ponto (0,0) é 1.
Enunciado da questão 13
Julgue a veracidade das seguintes afirmativas:
A matriz Hessiana associada à função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=2x_1-2x_1x_2-4x_2^2 é semidefinida positiva em qualquer ponto do domínio, e logo a função f é convexa.
Questão 14
Enunciado
Considere o sistema de equações em diferenças dado por x_{t+1}=-4x_t+5y_t e y_{t+1}=-2x_t+3y_t, sendo t=0,1,2,3,\ldots. Sabe-se que x_0=4 e y_0=1. Encontre 4L, em que L=\lim_{t\to\infty}\frac{x_t}{1+y_t}.
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Questão 15
Enunciado
Seja f:\mathbb{R}tomathbb{R} uma função duas vezes continuamente diferenciável tal que f'(x)-f(x)=e^{2x} e f(0)=1. Encontre o valor de \left|\int_{0}^{\ln(5)} f(x),dxright|.
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