Afirmativa
Para todo número real x\gt 0 tal que x\neq 1, vale a desigualdade \ln(x)\lt x-1, permitindo concluir que \pi^e\lt e^{\pi}, em que \pi=3{,}14159\ldots é o número irracional pi.
Matemática · ANPEC 2022
Questão 3, item 4
Funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas
Enunciado da questão
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Os outros itens desta questão
Resolver a questão inteira-
Item 0:
Para todo número natural n\geq 1, vale que \sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln(n+1), em que \ln(a) representa o logaritmo natural de a\gt 0.
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Item 1:
Para todo número real x\in\mathbb{R}, vale que x+\sqrt{x^2+1}\gt 0.
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Item 2:
Dados dois números reais x,y\in\mathbb{R}, vale a desigualdade |x-y|\geq 1 se, e somente se, x\geq y+1.
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Item 3:
O conjunto A=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{x}{e^x}\gt e^{-1}\right\} satisfaz A=\varnothing, em que e=2{,}718281\ldots é o número irracional neperiano.
Para todo x\gt 0, vale a desigualdade clássica \ln(x)\le x-1, com igualdade apenas em x=1. Portanto, se x\neq 1, a desigualdade é estrita: \ln(x)\lt x-1. …
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