ANPEC 2022 — Matemática – Anpec 2022 — Questão 03

Para todo número natural n\geq 1, vale que \sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln(n+1), em que \ln(a) representa o logaritmo natural de a\gt 0.

Para todo número real x\in\mathbb{R}, vale que x+\sqrt{x^2+1}\gt 0.

Dados dois números reais x,y\in\mathbb{R}, vale a desigualdade |x-y|\geq 1 se, e somente se, x\geq y+1.

O conjunto A=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{x}{e^x}\gt e^{-1}\right\} satisfaz A=\varnothing, em que e=2{,}718281\ldots é o número irracional neperiano.

Para todo número real x\gt 0 tal que x\neq 1, vale a desigualdade \ln(x)\lt x-1, permitindo concluir que \pi^e\lt e^{\pi}, em que \pi=3{,}14159\ldots é o número irracional pi.