ANPEC 2022 — Matemática – Anpec 2022 — Questão 02

Se {v_1,v_2,v_3}\subseteq V é um conjunto linearmente independente, então o conjunto {v_1-v_3,v_2-v_3,v_3} também é linearmente independente.

Se W_1 e W_2 são subespaços vetoriais de V, então o conjunto {w_1-w_2:w_1\in W_1, w_2\in W_2} também é um subespaço vetorial de V.

Para o caso em que V=\mathbb{R}^3, e A e B são duas matrizes reais 3\times 3, suponha que W_1 é o núcleo de A e W_2 é o núcleo de B. Portanto, W_1 e W_2 são subespaços vetoriais de V, e o conjunto \{w_1+w_2\in\mathbb{R}^3:w_1\in W_1,\ w_2\in W_2\} é o núcleo da matriz A+B.

Para o caso em que V=\mathbb{R}^2, qualquer elemento do conjunto {(x_1,x_2)\in V:x_1-x_2=1} pode ser expresso como a soma de (1,1) com algum elemento do conjunto {(x_1,x_2)\in V:x_1-x_2=0}.

Para o caso em que V é o conjunto das matrizes reais 2\times 2, em que a soma entre matrizes e a multiplicação por escalares são feitas da forma padrão, entrada a entrada, o subconjunto das matrizes reais do tipo \begin{pmatrix}a & c \\ c & d\end{pmatrix} com ad=0 não forma um subespaço vetorial de V.