Afirmativa
A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!} converge.
Matemática · ANPEC 2022
Questão 8, item 4
Enunciado da questão
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Os outros itens desta questão
Resolver a questão inteira-
Item 0:
Se (x_n) é uma sequência com x_n\gt 0 para todo n\geq 1, e \lim_{n\to\infty}x_n=1, então a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_{n+1}^2-x_n^2}{x_{n+1}+x_n} converge.
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Item 1:
Se x_n=\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} e y_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}, então \sum_{n=1}^{\infty}x_n e \sum_{n=1}^{\infty}y_n são séries convergentes e, portanto, são também convergentes \sum_{n=1}^{\infty}(x_n+y_n) e \sum_{n=1}^{\infty}x_ny_n.
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Item 2:
Para qualquer número real a satisfazendo 2\lt a\lt 3, a série \sum_{n=1}^{\infty}(3-a)^n converge.
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Item 3:
A série \sum_{n\geq 2}\frac{(-1)^n}{n^n} é absolutamente convergente.
Para a_n=\frac{n^n}{n!}, o teste da razão dá \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \longrightarrow e\gt 1. Como o limite da razão é maior que 1, a…
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