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ANPEC 2025 · Estatística – Anpec 2025
Questão 05
Não iniciada
Tipo A — V/F
EstatísticaLei dos grandes números e convergência em probabilidade
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_X e variância \sigma_X^2 , onde \sigma_X^2\lt\infty . Além disso, as variáveis X_1,X_2,\ldots,X_n têm distribuição normal. Considere que \operatorname{plim} representa o limite em probabilidade, e defina \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} . Pela Lei dos Grandes Números, é correto afirmar:
Defina \omega=h(\mu_X), onde h(\mu_X)=a+b\mu_X, sendo a e b constantes positivas. Definindo H=a+b\bar{X} como estimador para \omega, temos \operatorname{plim}(H)=a+b\mu_X.
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Sejam T_1,T_2,\ldots,T_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_T e variância \sigma_T^2, onde \mu_T\gt 0 e \sigma_T^2\lt\infty. Se \mu_T\gt\mu_X, então: \operatorname{plim}\left(\frac{\bar{X}}{\bar{T}}\right)=0, onde \bar{T}=\frac{\sum_{i=1}^n T_i}{n}.
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Sejam Y_1,Y_2,\ldots,Y_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu_Y e variância \sigma_Y^2, onde \sigma_Y^2\lt\infty. Então, \operatorname{plim}(\bar{X}+\bar{Y})=\mu_X+\mu_Y, onde \bar{Y}=\frac{\sum_{i=1}^n Y_i}{n}.
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Sejam Z_1,Z_2,\ldots,Z_n variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli com parâmetro p, onde 0\lt p\lt 1. Definindo \bar{Z}=\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{n}, podemos dizer que a variância de \bar{Z} se aproxima de zero quando n\to\infty, e que \operatorname{plim}(\bar{Z})=p.
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EstatísticaDistribuições Bernoulli e BinomialLei dos grandes números e convergência em probabilidadePropriedades dos estimadores
Considere que Y_i, i=1,\ldots,n são seleções independentes e identicamente distribuídas de uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli com parâmetro p . Definindo \varepsilon como sendo um número positivo, e k o número de vezes que Y_i é igual a 1 nas n seleções independentes, é correto afirmar:
Suponha que p=0{,}2. Para que a probabilidade de que \left(\frac{k}{n}-p\right)\lt 0{,}1 seja maior ou igual a 0{,}95, devemos ter: n\geq \frac{0{,}2\times 0{,}8}{0{,}95\times 0{,}01}.
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Suponha que o valor de p seja desconhecido. Sabemos apenas que 0\lt p\lt 1. Mesmo nesse caso, podemos dizer que a condição abaixo é satisfeita: \operatorname{Prob}\left(\left|\frac{k}{n}-p\right|\geq \varepsilon\right)\leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}.
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EstatísticaDesigualdade/Teorema de TchebycheffTeorema Central do Limite e convergência em distribuiçãoLei dos grandes números e convergência em probabilidade
Seja Y uma variável aleatória, enquanto c é uma constante qualquer, e d é uma constante positiva. Pela Desigualdade de Tchebychev, podemos afirmar: Prob(|Y-c|\geq d)\leq \frac{E(Y^2)}{d^2}.
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Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Sendo \bar{X}=\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}, pelo Teorema Central do Limite, \bar{X} converge para uma distribuição normal quando n\to\infty.
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Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias com distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Pela Lei dos Grandes Números, \bar{X}=\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n} converge para p quando n\to\infty.
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Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes com média \mu e variância \sigma^2. Sendo \bar{X}=\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}, pelo Teorema Central do Limite, \bar{X} converge para uma distribuição normal quando n\to\infty.
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Seja Z uma variável aleatória com média \mu e variância \sigma^2, e d é uma constante positiva. Pela Desigualdade de Tchebychev, temos Prob(|Z-\mu|\geq d)\leq \frac{\sigma^2}{d^2}.
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EstatísticaTeorema Central do Limite e convergência em distribuição
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes, todas com a mesma distribuição, com média \mu e variância \sigma^2 . Considere que \bar{X}_n=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n} , T_n=\sum_{i=1}^{n}X_i , e que S_n^2 seja um estimador consistente para \sigma^2 . Quando n\to\infty , é correto afirmar pelo Teorema Central do Limite:
EstatísticaPropriedades dos estimadoresLei dos grandes números e convergência em probabilidadeDistribuição Normal e LognormalEsperança, variância, covariância e correlação
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu e variância \sigma^2. Então \bar{X}=\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n} é um estimador consistente para \mu;
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Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias com distribuição de Poisson com parâmetro \lambda. Definindo \bar{X}=\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}, podemos dizer, com base na Lei dos Grandes Números, que \bar{X} se aproxima de \lambda à medida que n\to\infty;
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Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média \mu e variância \sigma^2. Sendo \bar{X}=\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}, podemos dizer que \bar{X} se torna bem aproximada pela distribuição normal com média \mu e variância \sigma^2 quando n\to\infty;
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Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \mu e variância \sigma^2. Sendo \bar{X}=\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}, \bar{X} se torna bem aproximada pela distribuição normal quando n\to\infty, mesmo que X_1,X_2,\ldots,X_n não sejam normalmente distribuídas;
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