Item de prova ANPEC

ANPEC 2027 — Matemática — Questão 06 — Item 4

Exame: ANPEC 2027 Prova: Matemática Questão 06 Item 4 V/F
Matéria
Matemática
Assunto
Álgebra Linear

Enunciado da questão

No espaço Euclidiano \mathbb R^n representamos por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x e y. Quando A é matriz m\times n e x é um vetor coluna em \mathbb R^n, escrevemos Ax\ge 0 para indicar que \langle a_i,x\rangle=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\ge 0 para todo i=1,\ldots,m, sendo o vetor a_i\in\mathbb R^n a i-ésima linha de A. A transposta de A é indicada por A^{\top}. Para qualquer x\in\mathbb R^n também definimos: \lVert x\rVert_S=\sum_{j=1}^n|x_j|, \lVert x\rVert_E=\sqrt{\langle x,x\rangle} e \lVert x\rVert_M=\max\{|x_j|:j=1,\ldots,n\}. Julgue as seguintes afirmativas:

Afirmativa

Seja A uma matriz 2\times 2, e b um vetor coluna em \mathbb R^2. Considere os conjuntos

V_1=\left\{x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\in\mathbb R^2:Ax\ge 0,\langle b,x\rangle<0,\lVert x\rVert_S=1\right\}[/katex]
<p>e</p>
V_2=\left\{y=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}\in\mathbb R^2:b=A^{\top}y,y_1\ge 0,y_2\ge 0\right\}.

Se V_1\ne\varnothing, então V_2=\varnothing.