Questão de prova ANPEC

Questão 06 — Matemática · ANPEC 2027

5 itens V/F
Matérias
Matemática
Assuntos
+4 assuntos
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras Álgebra Linear Sistemas lineares Produto interno, ortogonalidade e projeções

Enunciado da questão

No espaço Euclidiano \mathbb R^n representamos por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x e y. Quando A é matriz m\times n e x é um vetor coluna em \mathbb R^n, escrevemos Ax\ge 0 para indicar que \langle a_i,x\rangle=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\ge 0 para todo i=1,\ldots,m, sendo o vetor a_i\in\mathbb R^n a i-ésima linha de A. A transposta de A é indicada por A^{\top}. Para qualquer x\in\mathbb R^n também definimos: \lVert x\rVert_S=\sum_{j=1}^n|x_j|, \lVert x\rVert_E=\sqrt{\langle x,x\rangle} e \lVert x\rVert_M=\max\{|x_j|:j=1,\ldots,n\}. Julgue as seguintes afirmativas:

Afirmativa

Item 0

Abrir item isolado
Matemática Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras

A função f:\mathbb R^2\to\mathbb R, definida por f(x)=\lVert x\rVert_S, é uma bijeção.

Afirmativa

Item 1

Abrir item isolado
Matemática Álgebra Linear

O conjunto \{x\in\mathbb R^2:\lVert x\rVert_S=\lVert x\rVert_E=\lVert x\rVert_M=1\} é vazio.

Afirmativa

Item 2

Abrir item isolado
Matemática Sistemas lineares

Considere os sistemas de equações lineares:

\text{Sistema 1}\quad\begin{cases}x_1+x_2-3x_3=0\\x_1-\frac{x_2}{2}+\frac{x_3}{2}=0\end{cases}
\text{Sistema 2}\quad\begin{cases}3x_1-2x_3=0\\7x_1-2x_2=0\end{cases}

Se V_1\subseteq\mathbb R^3 é o conjunto de todas as soluções do Sistema 1 e V_2\subseteq\mathbb R^3 é o conjunto de todas as soluções do Sistema 2, então V_1\cup V_2=\{(2t^3,7t^3,3t^3)\in\mathbb R^3:t\in\mathbb R\}.

Afirmativa

Item 3

Abrir item isolado
Matemática Produto interno, ortogonalidade e projeções

Dada uma função estritamente crescente f:\mathbb R\to\mathbb R e fixado a\in\mathbb R^3, considere a função g:\mathbb R^3\to\mathbb R definida como g(x)=f(\langle a,x\rangle). Sabendo que g(1,2,3)=g(3,2,1), g(2,1,1)=g(0,2,1), e que \lVert a\rVert_E=1, então \lVert a\rVert_M=\frac{\sqrt{6}}{3}.

Afirmativa

Item 4

Abrir item isolado
Matemática Álgebra Linear

Seja A uma matriz 2\times 2, e b um vetor coluna em \mathbb R^2. Considere os conjuntos

V_1=\left\{x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\in\mathbb R^2:Ax\ge 0,\langle b,x\rangle<0,\lVert x\rVert_S=1\right\}[/katex]
<p>e</p>
V_2=\left\{y=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}\in\mathbb R^2:b=A^{\top}y,y_1\ge 0,y_2\ge 0\right\}.

Se V_1\ne\varnothing, então V_2=\varnothing.