Matemática
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Questão 01
Enunciado
Considere a função f dada pela regra f(x)=a^x com domínio \mathbb R e contradomínio \{x\in\mathbb R:x>0\} e a função g dada pela regra g(x)=\log_a(x) com domínio \{x\in\mathbb R:x>0\} e contradomínio \mathbb R, onde a>1.
Avalie a veracidade das afirmações abaixo:
Enunciado da questão 01
Considere a função f dada pela regra f(x)=a^x com domínio \mathbb R e contradomínio \{x\in\mathbb R:x>0\} e a função g dada pela regra g(x)=\log_a(x) com domínio \{x\in\mathbb R:x>0\} e contradomínio \mathbb R, onde a>1.
Avalie a veracidade das afirmações abaixo:
Para a=2, a equação f(x)=x^2 possui três soluções reais.
Enunciado da questão 01
Considere a função f dada pela regra f(x)=a^x com domínio \mathbb R e contradomínio \{x\in\mathbb R:x>0\} e a função g dada pela regra g(x)=\log_a(x) com domínio \{x\in\mathbb R:x>0\} e contradomínio \mathbb R, onde a>1.
Avalie a veracidade das afirmações abaixo:
Para a=10, vale que para todo x>0, a função logarítmica satisfaz a igualdade g(100+x)=2+g(x).
Enunciado da questão 01
Considere a função f dada pela regra f(x)=a^x com domínio \mathbb R e contradomínio \{x\in\mathbb R:x>0\} e a função g dada pela regra g(x)=\log_a(x) com domínio \{x\in\mathbb R:x>0\} e contradomínio \mathbb R, onde a>1.
Avalie a veracidade das afirmações abaixo:
A função definida sobre os números reais positivos como h(x)=f(g(x))-g(f(x)) é estritamente crescente.
Enunciado da questão 01
Considere a função f dada pela regra f(x)=a^x com domínio \mathbb R e contradomínio \{x\in\mathbb R:x>0\} e a função g dada pela regra g(x)=\log_a(x) com domínio \{x\in\mathbb R:x>0\} e contradomínio \mathbb R, onde a>1.
Avalie a veracidade das afirmações abaixo:
Tomando a=2027, para x>0 suficientemente grande vale que \ln(2027)g^{\prime}(x)>x^{-1}.
Enunciado da questão 01
Considere a função f dada pela regra f(x)=a^x com domínio \mathbb R e contradomínio \{x\in\mathbb R:x>0\} e a função g dada pela regra g(x)=\log_a(x) com domínio \{x\in\mathbb R:x>0\} e contradomínio \mathbb R, onde a>1.
Avalie a veracidade das afirmações abaixo:
Para todo n>1, vale que \int_1^n g(f(x)^n)\,dx=(n^3-n)/2.
Questão 02
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 02
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Considere a função f:\mathbb R\to\mathbb R com f(x)=x^2-x+\frac{1}{4} para todo x\in\mathbb R, e o intervalo I=[0,1]. Sabe-se que o ponto x^*\in I maximiza f(x) em x\in I. Portanto, x^*=0.
Enunciado da questão 02
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Considere as sequências de números reais (x_n) e (y_n), onde x_n=2-\frac{1}{n} e y_n=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right)^n. Então, \lim_{n\to+\infty}x_ny_n=e^2, onde e é o número de Euler.
Enunciado da questão 02
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se a função f:\mathbb R\to\mathbb R é tal que f(x)=\lim_{n\to+\infty}\frac{x}{1+xn^2} para todo x\in\mathbb R, então 0\le\frac{x}{1+xn^2}-f(x)\le 1 para todo x\ge 0 e todo n\in\{1,2,3,\ldots\}.
Enunciado da questão 02
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Suponha que x_n>0 para todo n=1,2,3,\ldots, e que a série \sum_{n=1}^{+\infty}x_n converge. Defina y_n=\ln\left(\frac{1}{x_n}\right) para todo n=1,2,3,\ldots, onde \ln é o logaritmo na base natural. Então, a série \sum_{n=1}^{+\infty}y_n converge.
Enunciado da questão 02
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Para todo x\in\mathbb R, a série \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{5^{1-n}}{1+n^2|x|} converge.
Questão 03
Enunciado
Suponha que X é um conjunto não-vazio. O complementar de um subconjunto Y\subseteq X é Y^{\complement}=\{x\in X:x\notin Y\}. Os conjuntos A, B, C e D mencionados abaixo são todos subconjuntos de X. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Enunciado da questão 03
Suponha que X é um conjunto não-vazio. O complementar de um subconjunto Y\subseteq X é Y^{\complement}=\{x\in X:x\notin Y\}. Os conjuntos A, B, C e D mencionados abaixo são todos subconjuntos de X. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Se (A\cup B)^{\complement}=(A\cup C)^{\complement}, então B=C.
Enunciado da questão 03
Suponha que X é um conjunto não-vazio. O complementar de um subconjunto Y\subseteq X é Y^{\complement}=\{x\in X:x\notin Y\}. Os conjuntos A, B, C e D mencionados abaixo são todos subconjuntos de X. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Dados A e B não-vazios, para toda função sobrejetora f:A\to B e todo conjunto não-vazio C\subseteq B, vale que D=\{a\in A:f(a)\in C\}\ne\varnothing.
Enunciado da questão 03
Suponha que X é um conjunto não-vazio. O complementar de um subconjunto Y\subseteq X é Y^{\complement}=\{x\in X:x\notin Y\}. Os conjuntos A, B, C e D mencionados abaixo são todos subconjuntos de X. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Sejam A e B conjuntos não-vazios e \bar b\in B. Se f:A\to A\times B é a função dada por f(a)=(a,\bar b), então f é injetiva.
Enunciado da questão 03
Suponha que X é um conjunto não-vazio. O complementar de um subconjunto Y\subseteq X é Y^{\complement}=\{x\in X:x\notin Y\}. Os conjuntos A, B, C e D mencionados abaixo são todos subconjuntos de X. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Supondo que X=\{x\in\mathbb R:x\ge 0\}, tome f:X\to\mathbb R a função definida por
f(x)=\begin{cases}\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{1}{x}}},&\text{se }x\in X,x\ne 0\\1,&\text{se }x=0,\end{cases}
e considere A=\{x\in X:f(x)<1\}. Vale que se x\in A, então 0\lt x\lt 2.
Enunciado da questão 03
Suponha que X é um conjunto não-vazio. O complementar de um subconjunto Y\subseteq X é Y^{\complement}=\{x\in X:x\notin Y\}. Os conjuntos A, B, C e D mencionados abaixo são todos subconjuntos de X. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Se X=\mathbb R e A=\{x\in\mathbb R:-n^{-1}\lt x\lt n^{-1}\text{ para todo }n=1,2,3,\ldots\}, então A^{\complement}\ne X.
Questão 04
Enunciado
Sendo n e m números inteiros maiores ou iguais a zero, encontre o valor da adição n+m, sabendo que n e m satisfazem as seguintes condições dadas pelas somas parciais
\sum_{k=1}^n k=2278
e
\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}=n-3.
Lembrando que \binom{m}{k}=\frac{m!}{k!(m-k)!} denota o coeficiente binomial (combinação de m elementos tomados k a k).
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Questão 05
Enunciado
Sejam u, v e w vetores não nulos do \mathbb R^3. Avalie a veracidade das sentenças a seguir, onde “{ }” pode ser lido como “a lista formada por”, e “⟦ ⟧”, como “o espaço gerado por”:
Enunciado da questão 05
Sejam u, v e w vetores não nulos do \mathbb R^3. Avalie a veracidade das sentenças a seguir, onde “{ }” pode ser lido como “a lista formada por”, e “⟦ ⟧”, como “o espaço gerado por”:
Se \{u,v,w\} é linearmente dependente, então w\in\llbracket u,v\rrbracket.
Enunciado da questão 05
Sejam u, v e w vetores não nulos do \mathbb R^3. Avalie a veracidade das sentenças a seguir, onde “{ }” pode ser lido como “a lista formada por”, e “⟦ ⟧”, como “o espaço gerado por”:
Se \{u,v\} é linearmente independente e w\notin\llbracket u,v\rrbracket, então, \{u,v,w\} também é linearmente independente.
Enunciado da questão 05
Sejam u, v e w vetores não nulos do \mathbb R^3. Avalie a veracidade das sentenças a seguir, onde “{ }” pode ser lido como “a lista formada por”, e “⟦ ⟧”, como “o espaço gerado por”:
Se \llbracket u,v,w\rrbracket é igual a \llbracket u,v\rrbracket e \{u,w\} é linearmente independente, então \{v,w\} é linearmente dependente.
Enunciado da questão 05
Sejam u, v e w vetores não nulos do \mathbb R^3. Avalie a veracidade das sentenças a seguir, onde “{ }” pode ser lido como “a lista formada por”, e “⟦ ⟧”, como “o espaço gerado por”:
Se as três listas \{u,v\}, \{u,w\} e \{v,w\} são linearmente independentes, então \{u,v,w\} também é linearmente independente.
Enunciado da questão 05
Sejam u, v e w vetores não nulos do \mathbb R^3. Avalie a veracidade das sentenças a seguir, onde “{ }” pode ser lido como “a lista formada por”, e “⟦ ⟧”, como “o espaço gerado por”:
Se u\cdot v=u\cdot w=v\cdot w=0, então \{u,v,w\} é linearmente independente.
Questão 06
Enunciado
No espaço Euclidiano \mathbb R^n representamos por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x e y. Quando A é matriz m\times n e x é um vetor coluna em \mathbb R^n, escrevemos Ax\ge 0 para indicar que \langle a_i,x\rangle=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\ge 0 para todo i=1,\ldots,m, sendo o vetor a_i\in\mathbb R^n a i-ésima linha de A. A transposta de A é indicada por A^{\top}. Para qualquer x\in\mathbb R^n também definimos: \lVert x\rVert_S=\sum_{j=1}^n|x_j|, \lVert x\rVert_E=\sqrt{\langle x,x\rangle} e \lVert x\rVert_M=\max\{|x_j|:j=1,\ldots,n\}. Julgue as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 06
No espaço Euclidiano \mathbb R^n representamos por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x e y. Quando A é matriz m\times n e x é um vetor coluna em \mathbb R^n, escrevemos Ax\ge 0 para indicar que \langle a_i,x\rangle=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\ge 0 para todo i=1,\ldots,m, sendo o vetor a_i\in\mathbb R^n a i-ésima linha de A. A transposta de A é indicada por A^{\top}. Para qualquer x\in\mathbb R^n também definimos: \lVert x\rVert_S=\sum_{j=1}^n|x_j|, \lVert x\rVert_E=\sqrt{\langle x,x\rangle} e \lVert x\rVert_M=\max\{|x_j|:j=1,\ldots,n\}. Julgue as seguintes afirmativas:
A função f:\mathbb R^2\to\mathbb R, definida por f(x)=\lVert x\rVert_S, é uma bijeção.
Enunciado da questão 06
No espaço Euclidiano \mathbb R^n representamos por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x e y. Quando A é matriz m\times n e x é um vetor coluna em \mathbb R^n, escrevemos Ax\ge 0 para indicar que \langle a_i,x\rangle=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\ge 0 para todo i=1,\ldots,m, sendo o vetor a_i\in\mathbb R^n a i-ésima linha de A. A transposta de A é indicada por A^{\top}. Para qualquer x\in\mathbb R^n também definimos: \lVert x\rVert_S=\sum_{j=1}^n|x_j|, \lVert x\rVert_E=\sqrt{\langle x,x\rangle} e \lVert x\rVert_M=\max\{|x_j|:j=1,\ldots,n\}. Julgue as seguintes afirmativas:
O conjunto \{x\in\mathbb R^2:\lVert x\rVert_S=\lVert x\rVert_E=\lVert x\rVert_M=1\} é vazio.
Enunciado da questão 06
No espaço Euclidiano \mathbb R^n representamos por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x e y. Quando A é matriz m\times n e x é um vetor coluna em \mathbb R^n, escrevemos Ax\ge 0 para indicar que \langle a_i,x\rangle=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\ge 0 para todo i=1,\ldots,m, sendo o vetor a_i\in\mathbb R^n a i-ésima linha de A. A transposta de A é indicada por A^{\top}. Para qualquer x\in\mathbb R^n também definimos: \lVert x\rVert_S=\sum_{j=1}^n|x_j|, \lVert x\rVert_E=\sqrt{\langle x,x\rangle} e \lVert x\rVert_M=\max\{|x_j|:j=1,\ldots,n\}. Julgue as seguintes afirmativas:
Considere os sistemas de equações lineares:
\text{Sistema 1}\quad\begin{cases}x_1+x_2-3x_3=0\\x_1-\frac{x_2}{2}+\frac{x_3}{2}=0\end{cases}
\text{Sistema 2}\quad\begin{cases}3x_1-2x_3=0\\7x_1-2x_2=0\end{cases}
Se V_1\subseteq\mathbb R^3 é o conjunto de todas as soluções do Sistema 1 e V_2\subseteq\mathbb R^3 é o conjunto de todas as soluções do Sistema 2, então V_1\cup V_2=\{(2t^3,7t^3,3t^3)\in\mathbb R^3:t\in\mathbb R\}.
Enunciado da questão 06
No espaço Euclidiano \mathbb R^n representamos por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x e y. Quando A é matriz m\times n e x é um vetor coluna em \mathbb R^n, escrevemos Ax\ge 0 para indicar que \langle a_i,x\rangle=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\ge 0 para todo i=1,\ldots,m, sendo o vetor a_i\in\mathbb R^n a i-ésima linha de A. A transposta de A é indicada por A^{\top}. Para qualquer x\in\mathbb R^n também definimos: \lVert x\rVert_S=\sum_{j=1}^n|x_j|, \lVert x\rVert_E=\sqrt{\langle x,x\rangle} e \lVert x\rVert_M=\max\{|x_j|:j=1,\ldots,n\}. Julgue as seguintes afirmativas:
Dada uma função estritamente crescente f:\mathbb R\to\mathbb R e fixado a\in\mathbb R^3, considere a função g:\mathbb R^3\to\mathbb R definida como g(x)=f(\langle a,x\rangle). Sabendo que g(1,2,3)=g(3,2,1), g(2,1,1)=g(0,2,1), e que \lVert a\rVert_E=1, então \lVert a\rVert_M=\frac{\sqrt{6}}{3}.
Enunciado da questão 06
No espaço Euclidiano \mathbb R^n representamos por \langle x,y\rangle o produto interno canônico entre dois vetores x e y. Quando A é matriz m\times n e x é um vetor coluna em \mathbb R^n, escrevemos Ax\ge 0 para indicar que \langle a_i,x\rangle=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\ge 0 para todo i=1,\ldots,m, sendo o vetor a_i\in\mathbb R^n a i-ésima linha de A. A transposta de A é indicada por A^{\top}. Para qualquer x\in\mathbb R^n também definimos: \lVert x\rVert_S=\sum_{j=1}^n|x_j|, \lVert x\rVert_E=\sqrt{\langle x,x\rangle} e \lVert x\rVert_M=\max\{|x_j|:j=1,\ldots,n\}. Julgue as seguintes afirmativas:
Seja A uma matriz 2\times 2, e b um vetor coluna em \mathbb R^2. Considere os conjuntos
V_1=\left\{x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\in\mathbb R^2:Ax\ge 0,\langle b,x\rangle<0,\lVert x\rVert_S=1\right\}[/katex]
<p>e</p>
V_2=\left\{y=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}\in\mathbb R^2:b=A^{\top}y,y_1\ge 0,y_2\ge 0\right\}.
Se V_1\ne\varnothing, então V_2=\varnothing.
Questão 07
Enunciado
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Seja f:\mathbb R^2\to\mathbb R uma função homogênea de grau 5, e g:\mathbb R\to\mathbb R a função dada por g(t)=f(t,t) para todo t\in\mathbb R, e g(5)=75. Então \int_{-1}^1 g(t)\,dt=0.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\int_{-\sqrt{e-1}}^{\sqrt{e-1}}\frac{|x|}{x^2+1}\,dx=1.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
\int_0^{e-1}4x\ln(x+1)\,dx=e^2-3, onde e representa o número de Euler e \ln representa o logaritmo natural.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se n é um número inteiro positivo, e a função f:\mathbb R\to\mathbb R é definida de modo que
f(x)=\begin{cases}0,&\text{se }x\le-\frac{1}{n^2}\text{ ou }x\ge\frac{1}{n^2}\\n^3-n^6x,&\text{se }0\le x\le\frac{1}{n^2}\\n^3+n^6x,&\text{se }-\frac{1}{n^2}\le x\le 0,\end{cases}
então \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=\frac{1}{n}.
Enunciado da questão 07
Julgue como verdadeiras ou falsas as seguintes afirmativas:
Se D=[0,1]\times[0,1] e f:\mathbb R^2\to\mathbb R é a função definida por f(x,y)=x, então \iint_D f(x,y)\,dx\,dy=1.
Questão 08
Enunciado
João precisa pagar à vista a inscrição de um exame e, para isso, contrai hoje um empréstimo de R$ 488,00. O financiamento será quitado em três parcelas anuais de mesmo valor nominal (isto é, em consonância com a Tabela Price), vencendo a primeira delas daqui a um ano (em setembro de 2027, seguidas pelas de setembro de 2028 e setembro de 2029). Sabendo que a taxa de juros é de 25% ao ano, com capitalização anual, quantos reais da última prestação referem-se exclusivamente a juros (isto é, aos juros incidentes sobre o saldo devedor verificado logo após o pagamento de setembro de 2028)?
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Questão 09
Enunciado
Fixados n\in\mathbb N e f,g:\mathbb R^n\to\mathbb R funções que possuem derivadas sucessivas de todas as ordens, considere o problema:
\max_{\mathbf{x}\in\mathbb R^n}f(\mathbf{x})\quad\text{sujeito a }g(\mathbf{x})=0.\qquad(P)
Analise a veracidade das afirmações a seguir:
Enunciado da questão 09
Fixados n\in\mathbb N e f,g:\mathbb R^n\to\mathbb R funções que possuem derivadas sucessivas de todas as ordens, considere o problema:
\max_{\mathbf{x}\in\mathbb R^n}f(\mathbf{x})\quad\text{sujeito a }g(\mathbf{x})=0.\qquad(P)
Analise a veracidade das afirmações a seguir:
Se \mathbf{x}^*\in\mathbb R^n é uma solução de (P), então \mathbf{x}^* é ponto crítico de f.
Enunciado da questão 09
Fixados n\in\mathbb N e f,g:\mathbb R^n\to\mathbb R funções que possuem derivadas sucessivas de todas as ordens, considere o problema:
\max_{\mathbf{x}\in\mathbb R^n}f(\mathbf{x})\quad\text{sujeito a }g(\mathbf{x})=0.\qquad(P)
Analise a veracidade das afirmações a seguir:
Se \mathbf{x}^*\in\mathbb R^n é um ponto crítico de f e a Hessiana \mathrm Hf(\mathbf{x}^*) é uma matriz negativa definida, então \mathbf{x}^* é uma solução de (P) acima.
Enunciado da questão 09
Fixados n\in\mathbb N e f,g:\mathbb R^n\to\mathbb R funções que possuem derivadas sucessivas de todas as ordens, considere o problema:
\max_{\mathbf{x}\in\mathbb R^n}f(\mathbf{x})\quad\text{sujeito a }g(\mathbf{x})=0.\qquad(P)
Analise a veracidade das afirmações a seguir:
Se \mathbf{x}^*\in\mathbb R^n é um ponto crítico de f tal que g(\mathbf{x}^*)=0, e existe função diferenciável e estritamente crescente T:\mathbb R\to\mathbb R tal que T\circ f é côncava, então \mathbf{x}^* é uma solução de (P) acima.
Enunciado da questão 09
Fixados n\in\mathbb N e f,g:\mathbb R^n\to\mathbb R funções que possuem derivadas sucessivas de todas as ordens, considere o problema:
\max_{\mathbf{x}\in\mathbb R^n}f(\mathbf{x})\quad\text{sujeito a }g(\mathbf{x})=0.\qquad(P)
Analise a veracidade das afirmações a seguir:
Se \mathbf{x}^*\in\mathbb R^n é uma solução de (P), então existe \lambda\in\mathbb R tal que \mathbf{x}^* é uma solução do problema irrestrito \max_{\mathbf{x}\in\mathbb R^n}(f(\mathbf{x})-\lambda g(\mathbf{x})).
Enunciado da questão 09
Fixados n\in\mathbb N e f,g:\mathbb R^n\to\mathbb R funções que possuem derivadas sucessivas de todas as ordens, considere o problema:
\max_{\mathbf{x}\in\mathbb R^n}f(\mathbf{x})\quad\text{sujeito a }g(\mathbf{x})=0.\qquad(P)
Analise a veracidade das afirmações a seguir:
Se \mathbf{x}^*\in\mathbb R^n é um ponto crítico de f tal que g(\mathbf{x}^*)=0 e vale que, para todo \mathbf{x}\in\mathbb R^n, a matriz Hessiana \mathrm Hf(\mathbf{x}) é negativa semidefinida, então \mathbf{x}^* é uma solução de (P) acima.
Questão 10
Enunciado
Considere o conjunto de todas as sequências de números reais x=(x_t), denotado por \mathbb R^{\mathbb N}, munido das operações usuais de adição e multiplicação por escalar real. Seja S o conjunto de todas as sequências x\in\mathbb R^{\mathbb N} tais que, para todo t\in\mathbb N, x_{t+1}=-(x_t+x_{t+2})/2.
Enunciado da questão 10
Considere o conjunto de todas as sequências de números reais x=(x_t), denotado por \mathbb R^{\mathbb N}, munido das operações usuais de adição e multiplicação por escalar real. Seja S o conjunto de todas as sequências x\in\mathbb R^{\mathbb N} tais que, para todo t\in\mathbb N, x_{t+1}=-(x_t+x_{t+2})/2.
Com as operações herdadas de \mathbb R^{\mathbb N}, S é um espaço vetorial.
Enunciado da questão 10
Considere o conjunto de todas as sequências de números reais x=(x_t), denotado por \mathbb R^{\mathbb N}, munido das operações usuais de adição e multiplicação por escalar real. Seja S o conjunto de todas as sequências x\in\mathbb R^{\mathbb N} tais que, para todo t\in\mathbb N, x_{t+1}=-(x_t+x_{t+2})/2.
A dimensão de S não é finita.
Enunciado da questão 10
Considere o conjunto de todas as sequências de números reais x=(x_t), denotado por \mathbb R^{\mathbb N}, munido das operações usuais de adição e multiplicação por escalar real. Seja S o conjunto de todas as sequências x\in\mathbb R^{\mathbb N} tais que, para todo t\in\mathbb N, x_{t+1}=-(x_t+x_{t+2})/2.
A sequência x dada por x_t=\pi\cos(t\pi), \forall t\in\mathbb N, é um dos elementos de S.
Enunciado da questão 10
Considere o conjunto de todas as sequências de números reais x=(x_t), denotado por \mathbb R^{\mathbb N}, munido das operações usuais de adição e multiplicação por escalar real. Seja S o conjunto de todas as sequências x\in\mathbb R^{\mathbb N} tais que, para todo t\in\mathbb N, x_{t+1}=-(x_t+x_{t+2})/2.
A dinâmica definitória de S tem um estado estacionário – no caso, a origem 0 – que é estável.
Enunciado da questão 10
Considere o conjunto de todas as sequências de números reais x=(x_t), denotado por \mathbb R^{\mathbb N}, munido das operações usuais de adição e multiplicação por escalar real. Seja S o conjunto de todas as sequências x\in\mathbb R^{\mathbb N} tais que, para todo t\in\mathbb N, x_{t+1}=-(x_t+x_{t+2})/2.
A sequência x dada por x_t=(-1)^t(20+27t), \forall t\in\mathbb N, pertence a S.