Questão 09 — Matemática · ANPEC 2027
Enunciado da questão
Fixados n\in\mathbb N e f,g:\mathbb R^n\to\mathbb R funções que possuem derivadas sucessivas de todas as ordens, considere o problema:
\max_{\mathbf{x}\in\mathbb R^n}f(\mathbf{x})\quad\text{sujeito a }g(\mathbf{x})=0.\qquad(P)
Analise a veracidade das afirmações a seguir:
Item 0
Se \mathbf{x}^*\in\mathbb R^n é uma solução de (P), então \mathbf{x}^* é ponto crítico de f.
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Item 1
Se \mathbf{x}^*\in\mathbb R^n é um ponto crítico de f e a Hessiana \mathrm Hf(\mathbf{x}^*) é uma matriz negativa definida, então \mathbf{x}^* é uma solução de (P) acima.
Item 2
Se \mathbf{x}^*\in\mathbb R^n é um ponto crítico de f tal que g(\mathbf{x}^*)=0, e existe função diferenciável e estritamente crescente T:\mathbb R\to\mathbb R tal que T\circ f é côncava, então \mathbf{x}^* é uma solução de (P) acima.
Item 3
Se \mathbf{x}^*\in\mathbb R^n é uma solução de (P), então existe \lambda\in\mathbb R tal que \mathbf{x}^* é uma solução do problema irrestrito \max_{\mathbf{x}\in\mathbb R^n}(f(\mathbf{x})-\lambda g(\mathbf{x})).
Item 4
Se \mathbf{x}^*\in\mathbb R^n é um ponto crítico de f tal que g(\mathbf{x}^*)=0 e vale que, para todo \mathbf{x}\in\mathbb R^n, a matriz Hessiana \mathrm Hf(\mathbf{x}) é negativa semidefinida, então \mathbf{x}^* é uma solução de (P) acima.
Uma solução de um problema com restrição de igualdade…
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