Questão 02 — Matemática · ANPEC 2027

Considere a função f:\mathbb R\to\mathbb R com f(x)=x^2-x+\frac{1}{4} para todo x\in\mathbb R, e o intervalo I=[0,1]. Sabe-se que o ponto x^*\in I maximiza f(x) em x\in I. Portanto, x^*=0.

Considere as sequências de números reais (x_n) e (y_n), onde x_n=2-\frac{1}{n} e y_n=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right)^n. Então, \lim_{n\to+\infty}x_ny_n=e^2, onde e é o número de Euler.

Se a função f:\mathbb R\to\mathbb R é tal que f(x)=\lim_{n\to+\infty}\frac{x}{1+xn^2} para todo x\in\mathbb R, então 0\le\frac{x}{1+xn^2}-f(x)\le 1 para todo x\ge 0 e todo n\in\{1,2,3,\ldots\}.

Suponha que x_n>0 para todo n=1,2,3,\ldots, e que a série \sum_{n=1}^{+\infty}x_n converge. Defina y_n=\ln\left(\frac{1}{x_n}\right) para todo n=1,2,3,\ldots, onde \ln é o logaritmo na base natural. Então, a série \sum_{n=1}^{+\infty}y_n converge.

Para todo x\in\mathbb R, a série \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{5^{1-n}}{1+n^2|x|} converge.