Afirmativa
Se g(x)=10, o estimador de mínimos quadrados ponderados que toma como pesos w_i=\exp(-X_i) apresentará viés.
Estatística · ANPEC 2027
Questão 7, item 1
Teorema de Gauss-Markov e propriedades dos estimadores
Enunciado da questão
Considere o seguinte modelo linear para uma relação entre duas variáveis, Y e X, numa população de interesse:
Y=\beta_0+\beta_1X+U,\quad E[U\mid X]=0.
Denote, ademais, a função variância condicional por g(x)=V[U\mid X=x].
Suponha que se tem acesso a uma amostra aleatória \{Y_i,X_i\}_{i=1}^n da população na qual vale o modelo de interesse e que na amostra o regressor X_i varie entre observações. No que segue, julgue como verdadeiras ou falsas as asserções sobre o estimador de mínimos quadrados ponderados que usa como pesos individuais valores w_i, i=1,\ldots,n:
Os outros itens desta questão
Resolver a questão inteira-
Item 0:
O estimador de \beta_1 obtido por mínimos quadrados ponderados é dado por:
\frac{\sum_{i=1}^n w_i(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sum_{i=1}^n w_i(X_i-\bar X)^2},
onde \bar Y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i e \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.
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Item 2:
Se g(x)=\exp(x), o estimador de mínimos quadrados ponderados que toma como pesos w_i=\exp(-X_i) é um estimador linear não viciado de variância mínima.
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Item 3:
Suponha que g(x)=\gamma_0+\gamma_1X_i. Considere a escolha de pesos w_i=\hat\gamma_0+\hat\gamma_1X_i, onde (\hat\gamma_0,\hat\gamma_1) é obtido em duas etapas: primeiro, calculam-se os resíduos \hat U_i obtidos através da estimação por mínimos quadrados ordinários de (\beta_0,\beta_1); em seguida, estima-se (\hat\gamma_0,\hat\gamma_1) regredindo-se \hat U_i^2 num intercepto e em X_i. O estimador de mínimos quadrados ponderados que usa esses pesos é um estimador linear não viciado de variância mínima.
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Item 4:
Seja g(x)=\tau^2 para algum \tau^2>0. Considere a escolha de pesos w_i=\hat\tau^2, onde \hat\tau^2 é calculado a partir da variância amostral dos resíduos obtidos da estimação preliminar de (\beta_0,\beta_1) por mínimos quadrados ordinários. O estimador de mínimos quadrados ponderados que usa esses pesos é um estimador linear não viciado de variância mínima.
Como os pesos w_i=\exp(-X_i) são positivos e dependem apenas do regressor, a hipótese E[U_i\mid X_i]=0 continua garantindo que o estimador de mínimos quadrados ponderados seja não viesado. …
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