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Estatística · ANPEC 2027 Questão 7

5 itens V/F
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Estatística
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Análise de Regressão Teorema de Gauss-Markov e propriedades dos estimadores Violação das hipóteses clássicas e testes de diagnóstico

Enunciado da questão

Considere o seguinte modelo linear para uma relação entre duas variáveis, Y e X, numa população de interesse:

Y=\beta_0+\beta_1X+U,\quad E[U\mid X]=0.

Denote, ademais, a função variância condicional por g(x)=V[U\mid X=x].

Suponha que se tem acesso a uma amostra aleatória \{Y_i,X_i\}_{i=1}^n da população na qual vale o modelo de interesse e que na amostra o regressor X_i varie entre observações. No que segue, julgue como verdadeiras ou falsas as asserções sobre o estimador de mínimos quadrados ponderados que usa como pesos individuais valores w_i, i=1,\ldots,n:

Afirmativa

Item 0

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Estatística Análise de Regressão

O estimador de \beta_1 obtido por mínimos quadrados ponderados é dado por:

\frac{\sum_{i=1}^n w_i(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sum_{i=1}^n w_i(X_i-\bar X)^2},

onde \bar Y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i e \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.

Afirmativa

Item 1

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Estatística Teorema de Gauss-Markov e propriedades dos estimadores

Se g(x)=10, o estimador de mínimos quadrados ponderados que toma como pesos w_i=\exp(-X_i) apresentará viés.

Afirmativa

Item 2

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Estatística Teorema de Gauss-Markov e propriedades dos estimadores

Se g(x)=\exp(x), o estimador de mínimos quadrados ponderados que toma como pesos w_i=\exp(-X_i) é um estimador linear não viciado de variância mínima.

Afirmativa

Item 3

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Estatística Violação das hipóteses clássicas e testes de diagnóstico

Suponha que g(x)=\gamma_0+\gamma_1X_i. Considere a escolha de pesos w_i=\hat\gamma_0+\hat\gamma_1X_i, onde (\hat\gamma_0,\hat\gamma_1) é obtido em duas etapas: primeiro, calculam-se os resíduos \hat U_i obtidos através da estimação por mínimos quadrados ordinários de (\beta_0,\beta_1); em seguida, estima-se (\hat\gamma_0,\hat\gamma_1) regredindo-se \hat U_i^2 num intercepto e em X_i. O estimador de mínimos quadrados ponderados que usa esses pesos é um estimador linear não viciado de variância mínima.

Afirmativa

Item 4

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Estatística Teorema de Gauss-Markov e propriedades dos estimadores

Seja g(x)=\tau^2 para algum \tau^2>0. Considere a escolha de pesos w_i=\hat\tau^2, onde \hat\tau^2 é calculado a partir da variância amostral dos resíduos obtidos da estimação preliminar de (\beta_0,\beta_1) por mínimos quadrados ordinários. O estimador de mínimos quadrados ponderados que usa esses pesos é um estimador linear não viciado de variância mínima.