Questão 7, item 3

O estimador de \beta_1 obtido por mínimos quadrados ponderados é dado por:

\frac{\sum_{i=1}^n w_i(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sum_{i=1}^n w_i(X_i-\bar X)^2},

onde \bar Y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i e \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.

Se g(x)=10, o estimador de mínimos quadrados ponderados que toma como pesos w_i=\exp(-X_i) apresentará viés.

Se g(x)=\exp(x), o estimador de mínimos quadrados ponderados que toma como pesos w_i=\exp(-X_i) é um estimador linear não viciado de variância mínima.

Seja g(x)=\tau^2 para algum \tau^2>0. Considere a escolha de pesos w_i=\hat\tau^2, onde \hat\tau^2 é calculado a partir da variância amostral dos resíduos obtidos da estimação preliminar de (\beta_0,\beta_1) por mínimos quadrados ordinários. O estimador de mínimos quadrados ponderados que usa esses pesos é um estimador linear não viciado de variância mínima.