Afirmativa
\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right)=n\sigma^2.
Estatística · ANPEC 2022
Questão 8, item 1
Estimação pontual e distribuição amostral
Enunciado da questão
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias tais que X_i\sim N(\mu,\sigma^2) para todo i=1,\ldots,n. Considere também que \operatorname{corr}(X_i,X_{i+1})=\rho para i=1,\ldots,n-1; e que \mu,\sigma^2 e \rho são parâmetros desconhecidos, com -1\lt\rho\lt 1 e \sigma^2\gt 0. É correto afirmar:
Os outros itens desta questão
Resolver a questão inteira-
Item 0:
\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=n\mu.
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Item 2:
\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^{n-1}X_iX_{i+1}\right)=(n-1)(\rho\sigma^2+\mu^2).
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Item 3:
Para n=2, seja \hat{\mu}=\frac{X_1+X_2}{2} um estimador para \mu. Então, Var(\hat{\mu})=\frac{\sigma^2(1+\rho)}{2}.
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Item 4:
Seja n=2 e considere \hat{\sigma}^2=\frac{1}{2}(X_1^2+X_2^2)-\left(\frac{1}{2}(X_1+X_2)\right)^2 um estimador para \sigma^2. Esse estimador é não tendencioso.
Para cada variável, vale E(X_i^2)=Var(X_i)+[E(X_i)]^2=\sigma^2+\mu^2. Logo, pela linearidade da esperança, E\left(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i^2)=n(\sigma^2+\mu^2), e não n\sigma^2 em geral. …
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