ANPEC 2022 — Estatística – Anpec 2022 — Questão 08
Enunciado da questão
Sejam X_1,X_2,\ldots,X_n variáveis aleatórias tais que X_i\sim N(\mu,\sigma^2) para todo i=1,\ldots,n. Considere também que \operatorname{corr}(X_i,X_{i+1})=\rho para i=1,\ldots,n-1; e que \mu,\sigma^2 e \rho são parâmetros desconhecidos, com -1\lt\rho\lt 1 e \sigma^2\gt 0. É correto afirmar:
Analise a afirmativa
\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=n\mu.
Analise a afirmativa
\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right)=n\sigma^2.
Analise a afirmativa
\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^{n-1}X_iX_{i+1}\right)=(n-1)(\rho\sigma^2+\mu^2).
Analise a afirmativa
Para n=2, seja \hat{\mu}=\frac{X_1+X_2}{2} um estimador para \mu. Então, Var(\hat{\mu})=\frac{\sigma^2(1+\rho)}{2}.
Analise a afirmativa
Seja n=2 e considere \hat{\sigma}^2=\frac{1}{2}(X_1^2+X_2^2)-\left(\frac{1}{2}(X_1+X_2)\right)^2 um estimador para \sigma^2. Esse estimador é não tendencioso.