Estatística · ANPEC 2024
Equações normais, resíduos e ajuste do MQO
Considere o modelo de regressão linear: y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+u. Onde u é um termo de erro tal que E(u\mid x_1,x_2)=0 e Var(u\mid x_1,x_2)=\sigma^2. Suponha que esteja disponível uma amostra aleatória da população com n observações {(x_{1i},x_{2i},y_i):i=1,2,\ldots,n} e que nenhuma das variáveis independentes seja constante. Suponha também que a correlação amostral entre x_1 e x_2 seja igual a zero. Decide-se, então, estimar também duas regressões simples por MQO, uma de y em x_1 e outra de y em x_2. Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas:
Defina \hat{r}_{1i} como os resíduos de uma regressão simples de x_1 em x_2, incluindo uma constante, usando essa mesma amostra. Então, podemos representar o estimador de MQO para \beta_1 na equação (1) por \hat{\beta}_1=\frac{\sum_{i=1}^{n}\hat{r}_{1i}y_i}{\sum_{i=1}^{n}(x_{1i}-\bar{x}_1)^2}.
Definindo \hat{\beta}_1 como o estimador de MQO para \beta_1 na equação (1) e \hat{\alpha}_1 como o estimador de MQO para \alpha_1 na equação (2), \hat{\beta}_1=\hat{\alpha}_1.
Definindo \hat{\beta}_0 como o estimador de MQO para \beta_0 na equação (1), \hat{\alpha}_0 como o estimador de MQO para \alpha_0 na equação (2), e \hat{\delta}_0 como o estimador de MQO para \delta_0 na equação (3), \hat{\beta}_0=\hat{\alpha}_0+\hat{\delta}_0.
Definindo \operatorname{Var}(\hat{\beta}_1\mid x_1,x_2) como a variância do estimador de MQO para \beta_1 na equação (1) e \operatorname{Var}(\hat{\alpha}_1\mid x_1) como a variância do estimador de MQO para \alpha_1 na equação (2), \operatorname{Var}(\hat{\beta}_1\mid x_1,x_2)=\operatorname{Var}(\hat{\alpha}_1\mid x_1).
Defina R_1^2 como o coeficiente de determinação da regressão correspondente à equação (1) e R_2^2 como o coeficiente de determinação da regressão correspondente à equação (2). Então, escolhendo um nível de significância, podemos testar H_0:\beta_2=0 contra H_1:\beta_2\neq 0 usando o fato de que \frac{R_1^2-R_2^2}{(1-R_1^2)/(n-2)}\sim F_{1,n-2}.
Pelo teorema de Frisch-Waugh-Lovell, o coeficiente de MQO de x_1 na regressão múltipla pode ser escrito usando os resíduos \hat r_{1i} da regressão de x_1 sobre constante e x_2: \hat\beta_1=\frac{\sum_{i=1}^n \hat r_{1i}y_i}{\sum_{i=1}^n \hat r_{1i}^2} Como a correlação…
A explicação completa está a um passo.
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